信号与系统第4章 连续信号频域分析.ppt

图 4.5.3 周期冲激序列及其频谱密度 4.5.3 频谱和频谱密度的总结和比较 这里再总结一下频谱和频谱密度的联系和区别。 ①频谱和频谱密度的物理含义都是表示将信号分解为很多不同频率的复简谐分量后，各频率分量的幅度和相位随分量频率的变化关系。因此它们都是信号的频域描述。 ②频谱是根据傅里叶级数得到的，而频谱密度是傅里叶变换得到的。因此，如果由频域表达式确定信号的时域表达式，应分别用不同的方法。 ③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以通过式（4.5.4）进行转换。 ④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数，如单位阶跃信号。 根据傅里叶级数和傅里叶变换得到信号的频谱，反映了信号中各频率分量的幅度和相位关系。在系统分析中，还经常需要从能量或功率的角度对信号进行分析和描述。能量和功率是信号在时域中的重要特征，将信号分解为正弦或复简谐信号后，其中的每个分量也都有能量或功率。信号的能量谱和功率谱可反映信号中各分量的能量和功率随着分量频率的变化关系。 4.6 信号的能量谱和功率谱 * 信号与系统 出版社 理工分社 第4章 连续信号的频域分析 信号和系统时域分析方法的基本思想是将任意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对 LTI系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可以分解为一系列正交函数的线性组合。 4.1 周期信号的傅里叶级数 所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2，…）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt（n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这些正交函数的加权和。 图 4.1.1 周期信号的分解和合成 4.1.1 三角形式的傅里叶级数 用周期函数表示的连续时间周期信号 f（t），如果满足狄里赫利条件，则可表示为傅里叶级数展开式的形式，即 式中，Ω =2π /T称为该周期信号的基波角频率，单位为 rad/s；T为其周期，单位为 s。An（n≥0）和 φn（n 0）的计算公式为 图 4.1.3 周期矩形脉冲信号的分解和合成 4.1.2 指数形式的傅里叶级数 根据欧拉公式，可以将式（4.1.1）所示三角形式的傅里叶级数展开式改写为 4.2.1 频谱的概念 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的 An，φn 或傅里叶系数 Fn 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数 n（角频率 nΩ）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中 An 或 |Fn|称为幅度谱，φn 称为相位谱。 4.2 周期信号的频谱 4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。 ③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不一定随 n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照一定规律衰减的。当 n→∞ 时，|Fn|→0，这体现了周期信号频谱的收敛性。 4.3.1 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的时间函数表达式为非周期函数，因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周期信号视为周期 T→∞ 的周期信号，从而得到类似的分解表达式。 周期信号的傅里叶系数为 4.3 非周期信号的频谱密度 当 T→∞ 时，周期信号 f（t）变为非周期信号。此时，基波角频率 Ω =2π /T 趋向于无穷小，记为dω，而 nΩ 趋向于连续变量，记为 ω。另外取 t0= -T/2，则由上式得到 4.3.2 非周期信号的频谱密度 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F（jω）反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率 ω 的变化关系，称为信号的频谱密度