信号与系统第6章 连续信号复频域分析.ppt

* 信号与系统 出版社 理工分社 第6章 连续信号的复频域分析 在信号和系统的时域和频域分析方法中，采用的基本信号为单位冲激信号或复简谐信号。由于频域分析方法是基于信号的频谱特性和系统的频率特性对系统进行分析，因此，这种方法是信号处理和系统分析与设计的重要基础。但是，频域分析方法有很多局限性。例如，有些信号不存在傅里叶变换和频谱密度，不稳定的系统不存在频率特性，信号的频谱和系统的频率特性计算较复杂，等等。 6.1 拉普拉斯变换 6.1.1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换的定义可以从傅里叶变换的定义推导得到。如果信号 f（t）不满足绝对可积条件，则不能用定义求出其傅里叶变换。为此，将 f（t）与一指数函数 e-σt相乘，得到一个新的信号 f（t）e-σt，称为对信号 f（t）进行指数加权。 6.1.2 拉普拉斯变换的零极点及收敛域 首先考虑如下例子。 例 6.1.1 求单边指数信号 f（t）= e-atu（t）（实数 a 0）的拉普拉斯变换 F（s）。 图 6.1.1 s平面、零极点图与收敛域 例 6.1.2 求反因果信号 f（t）= - e-atu（ - t）（实数 a 0）的拉普拉斯变换 F（s）。解 根据拉普拉斯变换的定义得到 为得到以上结果，必须满足 σ -a，此即为该反因果信号拉普拉斯变换的收敛域，在 s平面为穿过极点 p1= -a左边的区域。如图 6.1.2所示。 图 6.1.2 反因果信号拉普拉斯变换的收敛域 根据拉普拉斯变换的收敛域及其极点的定义，显然，拉普拉斯变换的收敛域与其极点之间存在密切关系。这一关系可以总结为： ①因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部最大的极点右边的区域。 ②反因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部最小的极点左边的区域。 ③双边信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部相邻的两个极点之间平行于虚轴的带状区域。 ④所有时限信号拉普拉斯变换的收敛域为除去 σ = -∞ 或 +∞ 以外的整个 s平面。 例 6.1.3 求双边指数信号 f（t）= e-a|t|，a 0的拉普拉斯变换 F（s），并确定其收敛域。解 根据定义求得 图 6.1.3 双边信号拉普拉斯变换的收敛域 由式（6.1.5）求得 F（s）的极点为 p1= - a，p2= a，则其收敛域为 p1σ p2，即 -a σ a，如图 6.1.3所示。 例 6.1.4 求门信号 f（t）=gτ（t）的拉普拉斯变换 F（s）。 解 门信号是典型的时限信号，由定义求得其拉普拉斯变换为 为得到上式结果，只需满足 σ≠ -∞ ，因此收敛域为 σ -∞ 的整个 s平面。 6.1.3 单边拉普拉斯变换 在式（6.1.1）中，积分区间从 t= - ∞ 开始，同时包括了 t0和 t0两部分，因此将其称为双边拉普拉斯变换。实际系统中的信号大多数都是因果信号。根据因果信号的定义，在求其拉普拉斯变换时，由于 t0时信号恒为零，则只需考虑 t0的部分。另外考虑到信号中可能包括在 t=0时的单位冲激信号及其各阶导数，则可将积分区间取为从 t=0-开始，从而得 例 6.1.5 求单边指数信号 f（t）= e-atu（t）（实数 a 0）的单边拉普拉斯变换 F（s）。 解 由定义求得 例 6.1.6 求双边指数信号 f（t）= e-a|t|（实数 a 0）的单边拉普拉斯变换 F（s）。解 由定义求得 6.1.4 常用信号的拉普拉斯变换表 6.1.1给出了常用信号的单边拉普拉斯变换。 与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列重要性质。利用这些性质，再结合基本信号的拉普拉斯变换，是求解复杂信号拉普拉斯变换的重要方法。此外，这些性质也是线性系统复频域分析的重要基础。 6.2 拉普拉斯变换的性质 6.2.1 线性性质 线性性质说明，信号的拉普拉斯变换满足齐次性和叠加性。根据该性质，如果某信号能分解为一些基本信号的线性组合，则可由这些基本的拉普拉斯变换通过简单的代数运算求出该信号的拉普拉斯变换。 例 6.2.1 求 f（t）= sinω0tu（t）的拉普拉斯变换 F（s）。 解 根据欧拉公式有 6.2.2 时移性质 需要注意的是，单边拉普拉斯变换的时移性质只适用于因果信号向右平移后得到的信号。如果 f（t）为双边信号，则根据此性质，由 f（t）的单边拉普拉斯变换 F（s）求 f（t-t0）的单边拉普拉斯变换将得到错误的结果。 例 6.2.2 求如图 6.2.1（a）和图 6.2.1（b）所示信号的拉普拉斯变换。 解 根据定义得到 f1（t）和