复变函数的学习方法-原创.docVIP

复变函数的学习方法-原创 导读：就爱阅读网友为您分享以下“复变函数的学习方法-原创”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 1，复数的由来：在实数域中，根号-1 是没有解的，但为了让它有解，我们就引进了虚数单位 i，令根号-1 等于 i，这样 根号-1 就有解了，实数域也因此扩大到了复数域。2，学复数学什么？在数学中，数是要拿来运算的，所以学习数学就是在学习数的运算，实数可以运算，复数同样也可以 运算。而常见的运算有：加、减、乘、除、乘方、开方、求导、微分、积分、级数。所以学习复数就是在 学习复数的这些运算。3，本书编辑思路：因为学习复数就是学习复数的运算，所以讲解《复变函数》这门课也就是在讲解这些运算。而要讲解 复变函数的运算就一定要先让别人知道：什么复数？什么是复变函数？复数怎么表示、复数的基本运算， 复函数怎么表示、复函数的基本运算。然后才能讲：求导、微分、积分、级数。而本书各章节的顺序正是 这样安排的。如本书的目录： 每一章：复数与复变函数 第二章：解析函数 (相当于实数域的求导) 第三章：复变函数的积分 第四章：解析函数的级数表示 第五章：留数 (是级数和积分相结合的产物) 第六章：共形映射 (复变函数的几何图像) 第七章：解析函数在平面场中的应用 第八章：傅里叶变换 (傅里叶级数的推广) 第九章：拉普拉斯变换 (傅里叶变换的推广)4，部分章节说明：第二章：复数的导数 复数中的可导我们并不称为可导，而是称为解析。实际上就是可导，只是多了一个条件：在该点及其 邻域内都可导。而实函数中的可导只要求在该点可导，并不要求在其邻域内可导。 第三章：复数的积分 主要讲了柯西积分定理，柯西积分公式和高阶导数公式。 柯西积分定理研究的是积分值。即：解析域内闭曲线积分为 0；解析域内不闭合的曲线积分值与 路径无关，只与起始点有关。 柯西积分公式是由柯西积分定理得来的，研究的是函数值。它体现了一点的函数值可以用一个积分来 表示，因此复数的积分反过来也可以用一点的函数值来表示。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广。所以，柯西积分公式是高阶导数公式的一个特例，即 0 阶导。 第三章：复数的级数 把几个数排成一列叫做数列，而把这个数列中的每个数加起来就称为级数。无穷多个数组成的数列称 为无穷数列，无穷多个数组成的级数则称为无穷极数。数列是很多个数，而极数是很多个数的和，是一个 数。 如果级数是由常数相加得来的，称为常数项级数；如果级数是由函数相加得来的，称为函数项级数。 如果函数项级数是由幂函数相加得来的，称为幂级数。如果函数项级数是由正弦函数相加得来的，称为正 弦级数。 即然许多函 数可以相加可以得到一个函数，因此一个函数也可以表示成许多个函数相加。把一个函数 表示成许多个函数相加，我们称为将该函数展开成级数。用泰勒方法展开成的级数称为泰勒级数，用傅里第 1 页 共 2 页叶方法展开成的级数称为傅里叶级数。泰勒级数是幂级数，傅里叶级数是正弦级数。 如果复函数的定义域是一个圆，则可以展开成泰勒级数。如果复函数的定义域是一个圆环，则可以展 开成洛朗级数，而洛朗级数实际上就是两个泰勒级数的差。 第四章：留数 将复函数展开成洛朗级数后发现，洛朗级数中负 1 次幂前面的系数恰好是复函数在该点的积分值，所 以就把洛朗级数中负 1 次幂前面的系数就称为复函数在该点的留数。因此，就可以用级数的方法来表示积 分。 因为留数是针对孤立奇点而言的，所以要讲留数主要先知道什么是孤立奇点，所以本章一开篇就先讲 了孤立奇点。知道了孤立奇点就要去判断一个点是不是孤立奇点，这可通过洛朗展开式去判断，而用洛朗 展开式去判断有时会很麻烦，因此又讲了极限的方法来判断。(定理 5.1、5.2 和 5.3) 又因为孤立奇点和零点有一定的关系，所以又讲了零点。同样，知道了零点就要去判断一个点是不是 零点， 这就有了零点的判断法——定理 5.4。 知道了零点就可以给出零点与孤立奇点的关系了——定理 5.5。 讲了孤立奇点，又说了零点，则就由此引出了留数的概念：什么是留数——定义 5.4，留数有什么用— —定理 5.7，怎样去求留数——法则、、、。 学了东西是要拿出来用的，留数怎么用？于是又讲了留数在定积分计算中的应用——围道积分法。 最后将留数对应积分中的 f(z)取自然对数，再将这个对数求导数，又得到了对数留数。 第八、九章：积分变换：主要讲了傅里叶变换和拉氏变换 因第三章中说的傅里叶级数只能针对周期函数进行展开，而要对非周期函数展开怎么办呢？这就用到 了傅立叶变换。而傅里叶变换也不是万能的，它也只能展开一部分非周期函数，而为了能展开更多的非周 期函数，所以又有了拉氏变换。 傅里叶变换是傅里叶级数的推广，是傅里叶级数的分割量趋于 0 时得到的。拉氏变换又是傅里叶变换