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悖论及其意义 一、悖论的举例及其注释 为了便于理解悖论的特征和意义，我们不妨先从实例讲起。 由于悖论的起源和发展几乎与科学史同步，所以悖论已经历了几千年漫长的发展和演变过程，因而种类繁多，无法一一列举，下面仅举几个典型例子。 1．说谎者悖论 公元前六世纪，克里特人构造了这样一个语句，一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话，”试问这句话是真是假？这里给出这句活是真是假的逻辑论证：假设它是真的，即所有克里特人说的每一句话都是谎话，由于这句话正是克里特人所说，故根据此话的论断可推出这句话是假的。由此可见，由这句话的真可推出它是假的。显然，这是一个逻辑矛盾。产生矛盾的原因是，命题的论断中包含了前提。反之，假设这句话是假的，也就是说并非每一个克里特人的每一句话都是假话，从而既不能导致逻辑矛盾，也推不出它的真。 此悖论的特征是，由它的真可以推出它的假，但反之，由它的假却推不出它的真。现将此悖论略加修改，可以构造一个强化的说谎者悖论：“我说这句话时正在说谎”，试问这句话是真是假？下面给出这句话真假性的逻辑论证。 假设这句话是真的，即肯定了这句话的论断，但由此话的论断推出这句话是假。反之，假设这句话是假，则应否定这句话的论断，即肯定其反面，从而又推出这句话是真。 以上矛盾产生的原因是，由于语言结构层次的混乱，具体地讲，这是一句话套话的句子，且被套的话就是套它的话自身，或者说被断定的话与断定的话混而为一。 2.康托悖论 这个悖论是康托1899年发现的，现叙述如下。 设集合是所有集合的集合，试问集合的基数与集合的幂集的基数，哪个大。 一方面，根据康托定理，任何集合的基数小于其幂集，即，可推得 (i) 另一方面，由是的幂集，可知集中的任一个元素，即都是的子集，所以必是一个集合。而又因是所有集合的集合，从而又有。于是有，即是的子集，故又有 (ii) 显然，(i)式与(ii)式矛盾，产生这种悖论的原因是，在承认康托定理的前提下，根据概括原则所确定的集合是不存在的。 3.罗素傅论 此悖论是罗素的1902年提出的，叙述如下。 将集合分为两种，一种是集合亦是它的元素，即，例如，所有集合的集合就属于这一种。人们称这种集合为本身分子集。另一种集合不是它的元素，即，例如，自然数集就属于这一种集合。人们称这种集合为非本身分子集。观将所有集合按此标准分为两类，一类是所有本身分子集，另一类是所有非本身分子集。现在问，所有非本身分子集组成的集是哪一种集合。为了陈述简明清晰，不妨设所有非本身分子集构成的集为，即。 如果是本身分子集，即，由的组成可推出；反之，如果是非本身分子集，即，由的构成又可推出。 综合以上可得如下逻辑推理表达式 这是一个两边互相矛盾的等价式(注意这和康托悖论中的两个互相矛盾的命题有些微妙的差异。因为两个互相矛盾的等价命题，当然首先是两个互相矛盾的命题；但反之，两个互相矛盾的命题未必都能化归为两个互相矛盾的等价命题)。产生这个悖论的根源是，这种所有非本身分子集是不存在的。 4.理发师悖论 下面我们介绍罗素1919年仿他构造的集合论悖论改写而成的理发师悖论。 将李家村上有刮胡子习惯的所有人分成两类，一类是自己给自己刮胡子，另一类是自己不给自己刮胡子。该村有一个有刮胡子习惯的理发师给自己规定：给而且只给那些不能自己刮胡子的人刮胡子。试问这个理发师属于上述两类人中的哪一类或者这个理发师自己给自己刮不刮胡子？如果说他是属于自己给自己刮胡子的一类，但按照他自己的规定，他不能给自己刮胡子，从而推得他只能属于自己不给自己刮胡子的一类，反之，如果说他是属于自己不给自己刮胡子的一类，但按照他的规定，他必须给自己刮胡子，因而他只能属于自己给自己刮胡子的一类。综合以上可推出如下的两个互相矛盾的等价命题 理发师自己给自己刮胡子理发师自己不给自己刮胡子。 5.理查德悖论 这个悖论是1905年提出的，现已有很多不同的表达形式，这里仅就其中的一种陈述如下。 将自然数的所有性质编成号码 如果序数具有所表示的性质，则称是非理查德自然数域，简称非理查德数。例如，若令表示素数集或素数定义，因为3是素数，于是3就是非理查德数。如果素数与所表示的性质不符，则称为理查德数。例如，令表示偶数，因为5不是偶数，所以5是理查德数。根据以上概念构造理查德悖论如下 理查德数是与编号所表示的性质不符的序数的自然数 显然，这句话也表示自然数的一个性质，因而也有一个号码，试问序号是理查德数还是非理查德数？下面给出简要论证。 如果是非理查德数，根据定义具有这句话所表达的性质，即，是一个理查德数；反之，如果是理查德数，根据定义与这句话意思不符，即不满足理查德数的定义，所以必是非理查德数。从而有 是非理查德数是理查德