复变函数1.3 平面点集一般概念.pptVIP

*/15 第一章 复数与复变函数 §1.3 平面点集的一般概念 §1.3 平面点集的一般概念 一、平面点集 二、区域 三、平面曲线 一、平面点集 1. 邻域 设 为复平面上的一点， 定义 d z0 d z0 (1) 称点集 为 点的 邻域； (2) 称点集 为 点的 去心邻域。 内点 一、平面点集 2. 内点、外点与边界点 (1) 内点 外点 边界点 考虑某平面点集 G 以及某一点 ， (2) 有 外点 (1) (2) 有 边界点 (1) 不一定属于 G ； 在 中， (2) 既有 又有 边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。 3. 开集与闭集 开集 如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。 一、平面点集 闭集 如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。 4. 有界集与无界集 定义 若存在 ，使得点集 G 包含在原点的 邻域内， 则 G 称为有界集， 否则称为非有界集或无界集。 二、区域 1. 区域与闭区域 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集； (2) D是连通的， 闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 不连通 的一条折线连接起来。 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 连通 二、区域 2. 有界区域与无界区域 (顾名思义) 3. 内区域与外区域 （如何围出面积最大的区域） 定义 一条“简单闭曲线(?)”把整个复平面分成两个区域， 其中 有界的一个称为该简单闭曲线的内部(内区域)， 称为该简单闭曲线的外部(外区域)。 4. 单连通域与多连通域 定义 设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域， 多连通域又可具体分为二连域、三连域、… …。 另一个 否则称为多连通域。 A 省 (二连域) (三连域) 二、区域 4. 单连通域与多连通域 A 省 (单连域) B 省 (单连域) B 省 (非区域) 举例 (杜撰) 飞地 区域 1 - 2 + i 闭区域 (角形)区域 三、平面曲线 1. 方程式 在直角平面上 在复平面上 如何相互转换？ (比较熟悉) (比较陌生) (1) (2) (建立方程) (理解方程) i - i (1) i - i (2) 2i - 2 (3) 1 - 1 2 - 2 (4) 1 - 1 (5) 三、平面曲线 2. 参数式 在直角平面上 在复平面上 例如 考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程。 (2) 在复平面上 (1) 在直角平面上 三、平面曲线 3. 曲线的分类 考虑曲线 简单曲线 当 时， 简单闭曲线 简单曲线且 光滑曲线 在区间 上， 和 连续且 简单、不闭 简单、闭 不简单、闭 不简单、不闭 三、平面曲线 4. 有向曲线 定义 设 C 为平面上一条给定的光滑(或分段光滑)曲线， 指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有 方向的曲线，称为有向曲线，仍记为 C。 代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。 如果 相应地， 则 逆时针方向。 区域 区域 三、平面曲线 4. 有向曲线 简单闭曲线的正向一般约定为： 当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线 前进时, 区域边界曲线的正向一般约定为： 当边界上的点 P 顺此方向沿边界 前进时, 曲线所围成的有界区域始终 位于 P 点的左边。 所考察的区域始终位于 P 点 的左边。 注意区域可以是多连域。 曲线 轻松一下吧 ……