复变函数2.1 解析函数概念.ppt

1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。 附： 知识广角 —— 关于 C - R 条件 1746年，达朗贝尔(D’Alemert)在研究流体力学时首先提到 了如下的关系式： 若函数 是解析函数，则上述关系式成立。 1777年，欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 , 证明了条件的必要性，即 附： 知识广角 —— 关于 C - R 条件 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定义的基础，并且在它上面建立了相应的理论。 上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期 内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为 解析函数，直到晚年他才区分出解析函数类。 后来人们就以柯西和黎曼的名字来命名上述关系式，不过 也有些著作把该上述关系式称为欧拉－达朗贝尔条件。 附： 人物介绍 —— 柯西 数学史上最多产的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 数理弹性理论的奠基人之一 。 法国数学家 (1789～1857) 柯 西 A. L. Cauchy 第二章 解析函数 */29 */29 第二章 解析函数 §2.1 解析函数的概念 第二章 解析函数 §2.2 解析函数和调和函数的关系 §2.1 解析函数的概念 §2.3 初等函数 §2.1 解析函数的概念 一、导数与微分 二、解析函数 三、柯西-黎曼方程 一、导数与微分 1. 复变函数的导数 则称 在 处可导， 设函数 在 点的某邻域内有定义， 定义 是 的邻域内的任意一点， 如果 存在有限的极限值 A， 且称 A 为 在 处的导数， 记作 如果函数 在区域 D 内的每一点都可导， 在 D 内可导，此时即得 的导(函)数 则称 P30 定义 2.1 一、导数与微分 2. 复变函数的微分 则称 在 处可微， 设函数 在 点的某邻域内有定义， 定义 是 的邻域内的任意一点， 若 在区域 D 内处处可微，则称 在 D 内可微。 如果存在 A，使得 记作 为微分， 特别地，有 (考虑函数 即可) 导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。 P30 补 一、导数与微分 3. 可导与可微以及连续之间的关系 (1) 可导 可微 如果可导 可微； 如果可微 可导。 由此可得 即 一、导数与微分 3. 可导与可微以及连续之间的关系 (1) 可导 可微 (2) 可导 连续 如果可导 可微 连续。 由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。 对二元实函数： 偏导数存在 可微 偏导数连续。 解 (1) 由 ( n 为正整数 )； 同理可得 得 ( C 为复常数 )。 解 (2) 由 得 一、导数与微分 4. 求导法则 (1) 四则运算法则 P32 一、导数与微分 4. 求导法则 (1) 四则运算法则 (2) 复合函数的求导法则 (3) 反函数的求导法则 其中， 与 是两个互为反函数的单值 函数，且 二、解析函数 则称 在 点解析； (1) 如果函数 在 点以及 点的邻域内处处可导， 定义 (2) 如果函数 在区域 D 内的每一点解析， 则称 或者称 是 D 内的解析函数。 在区域 D 内解析， 奇点 则称 为 的奇点。 如果函数 在 点不解析， (2) 区域可导 区域解析。 关系 (1) 点可导 点解析； P31 定义 2.2 (解析函数的由来) 二、解析函数 性质 (1) 在区域 D 内解析的两个函数 与 的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析。 (2) 如果函数 在 z 平面上的区域 D 内解析， 则复合函数 在 D 内解析。 函数 在 平面上的区域 G 内解析， 且对