复变函数与积分变换14复平面上点集.pptVIP

课件 * * 课件 平面上以 为中心, d (任意的正数)为半径的圆: 内部的点的集合称为 的邻域, 而由不等式 所确定的点被称为 的去心邻域. 1. 区域的概念 z0 d § 1.4 复平面上的点集 课件 包括无穷远点自身在内且满足 |z|M 0的所有点的集合, 称为无穷远点的邻域. 即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足 |z|M 的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作 M|z|?. 0 M |z|M 课件 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来. 课件 设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作?D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D为有界的, 否则称为无界的. 课件 2. 单连通域与多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (a?t?b)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程 z=z(t) (a?t?b)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式. 课件 对曲线z(t)=x(t)+iy(t), 如果在区间[a,b]上x(t)和y(t)都是连续的,且对a?t?b有 [x(t)]2+[y(t)]2≠0, 则称该曲线为光滑的.有几段依次相连的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 课件 设C: z=z(t) (a?t?b)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足 at1b, a?t2?b 的 t1与 t2, 当 t1?t2而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为简单闭曲线. 课件 z(a)=z(b) 简单,闭 z(a) z(b) 简单,不闭 z(a)=z(b) 不简单,闭 不简单,不闭 z(a) z(b) 课件 任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的. 内部 外部 C