复变函数与积分变换第二版本3.1 复积分概念.pptVIP

* 第三章 复变函数的积分 * 第三章 复变函数的积分 §3.1 复积分的概念 第三章 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理 §3.1 复积分的概念 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数 §3.1 复积分的概念 一、复积分的定义 二、复积分的性质 三、复积分的计算 a b x y C 定义 如图设 C 为简单光滑的有向 (1) 将曲线 C 任意划分： 一、复积分的定义 函数 在 C 上有定义， 令 zk z0 zk zn zk-1 (2) 在每个弧段 上任取一点 若 存在(不依赖 C 的划分和 的选取)， 则称之为 沿曲线 C 的积分，记为 曲线，其方向是从 a 到 b， P54 定义 3.1 a b x y C 一、复积分的定义 表示沿曲线 C 的 注 (1) zn zk-1 z0 zk zk C - 负方向积分； 表示沿闭曲线 G (2) (的逆时针方向) 积分； 第一类曲线积分 二、复积分的性质 (1) (4) (2) (3) 其中， 其中， L为曲线C的弧长。 P58 估计 例 的模的一个上界，其中 C 如图所示。 x y C i 1 -1 解 解 曲线 C ： x y C 3 4 P58 例3.4 i 证 不妨设 P59 例3.5 三、复积分的计算 附 格林(Green)公式 进一步可化为定积分或者二重积分。 方法一 化为第二类曲线积分 P55 定理3.1 (推导?) 三、复积分的计算 方法二 直接化为定积分 设曲线 则 其中， 附 其它方法(后面的章节介绍) 利用原函数计算，即 利用柯西积分公式、高阶导公式计算。 利用留数计算。 P56 解 (1) 曲线 C1 的方程为 曲线 C2 的方程为 x y C1 C2 C3 i 1 C4 计算 例 其中 C 为(如图)： (1) (2) (3) P57 例3.3 修改 解 (2) 曲线 C3 的方程为 x y C1 C2 C3 i 1 C4 计算 例 其中 C 为(如图)： (1) (2) (3) P57 例3.3 修改 解 (3) 曲线 C4 的方程为 x y C1 C2 C3 i 1 C4 计算 例 其中 C 为(如图)： (1) (2) (3) P57 例3.3 修改 解 (1) 曲线 C1 的方程为 曲线 C2 的方程为 x y C1 C2 C3 i 1 计算 例 其中 C 为： (1) (2) P56 例3.1 修改 解 (2) 曲线 C3 的方程为 x y C1 C2 C3 i 1 计算 例 其中 C 为： (1) (2) P56 例3.1 修改 解 曲线 C 的参数方程为 当 时， 当 时， q x r y C 注 此例的结果很重要！ ▲ P57 例3.2 休息一下 …… 附： 复积分化为第二类曲线积分的公式推导 a z0 zk-1 zn zk b x y zk C 设函数 在 C 上连续， 则 也在 C 上连续； 由 有 当 时， 记 则 如图 (1) 将上式两端取极限(即令 )，得 附： 复积分化为第二类曲线积分的公式推导