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学大教育广州技术有限公司佛山分公司高二数学
内 容 要求层次 重难点 导数在研究函数中的应用 函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) C 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).[来源:学+科+网]
会利用导数解决某些实际问题. 利用导数解决某些实际问题 B
函数的极值
函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值,记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值,记作极大值与极小值统称为极值,称为极值点.
求函数的极值的三个基本步骤
求导数;
求方程的所有实数根;
检验在方程的根左右的符号,如果是左正右负(左负右正),则在这个根处取得极大(小)值.
求函数最值
求函数在区间上的极值;
将极值与区间端点函数值比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.
函数的极值
(福建2011文)若且函数在处有极值,则的最大值等于
A.2 B.3 C.6 D.9
(广东2011理)函数在 处取得极小值.
(2009辽宁卷文)若函数在处取极值,则
(安徽2011理16)设,其中为正实数
()当时,求的极值点;
()若为上的单调函数,求的取值范围.
(湖南2011文22)设函数
(I)讨论的单调性;
(II)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
(江西2011文20)设.
(1)如果在处取得最小值,求的解析式;
(2)如果,的单调递减区间的长度是正整数,试求和
的值.(注:区间的长度为)
(全国2011文20)已知函数
()证明:曲线
()若,求的取值范围.
(重庆2011文19)设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且()求实数的值;()求函数的极值.
(2010全国卷2文) 已知函数
()设,求c的单调期间;
()设在区间中至少有一个极值点,求的取值范围.
(全国一2010文)已知函数
(I)当时,求的极值;
(II)若在上是增函数,求的取值范围
(2010安徽文)设函数,,求函数的单调区间与极值.
(2009山东卷文) 已知函数,其中
(1)当满足什么条件时,取得极值?
(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
.
函数的最值
(2010江苏卷)将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是________.
(2009湖南卷文)设函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数 取函数.当时,函数的单调递增区间( )
A . B. C . D .
(北京2011文18)已知函数
(I)求的单调区间;
(II)求在区间上的最小值.
(浙江2011文)设函数
(I)求的单调区间
(II)求所有实数,使对恒成立.
注:e为自然对数的底数.
(江西2011理19)设.
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
(天津2011文20)已知函数,其中.
()若,求曲线在点处的切线方程;
()若在区间上,恒成立,求的取值范围.
(2009江西卷文)设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
(天津2010文)已知函数 =,其中. 若在区间上,恒成立,求的取值范围.
(全国2010文科)设函数
()若a=,求的单调区间;
()若当≥0时≥0,求a的取值范围
函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者,最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者.
函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,是一个局部性概念.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系.
特别提醒:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点.
已知(是常数)在上有最大值,那么在上的最小值是( )
A. B. C. D.
对于函数,在使恒成立的所有常数中,我
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