安徽省舒城中学2014届高三寒假作业 数学专题高中数学中最值问题 含答案.docVIP

安徽省舒城中学高三年级2013─2014学年寒假作业 数学部分 专题（一）高中数学中的最值问题 一．函数中最值问题求法 函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．求解函数的最值常用解法有：配方法，换元法 ．不等式法 ．函数单调性法 ．导数法等。 二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得．对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解．配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法． [例1] 在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x(x0)台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为 C(x)=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； 利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？ 解 （1）P(x)=R(x)-C(x)=（3000x-20x2）-（500x+4000） =-20x2+2500x-4000（x∈［1，100］且x∈N） MP(x)=P(x+1)-P(x) =-20(x+1)2+2500（x+1）-4000-（-20x2+2500x-4000） =2480-40x （x∈［1，100］且x∈N）. （2）P(x)=-20(x-2+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74120（元）. 因为MP(x)=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）. 因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值. 变式训练1 已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域. 变式训练2函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值． 变式训练3设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件： ①当x∈R时，其最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立； ②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立． 求f(1)的值； (2)求f(x)的解析式； 求最大的实数m(m1)，使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立． 变式训练4. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积. （二）换元法． 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． [例2]：设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4， (1)若t＝log2x，求t的取值范围； (2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值． 解　(1)∵t＝log2x，≤x≤4，∴log2≤t≤log24， 即－2≤t≤2. f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x) ＝(log2x)2＋3log2x＋2， ∴令t＝log2x， 则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－， ∴当t＝－即log2x＝－，x＝时， f(x)min＝－. 当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12. 变式训练5 设a，b∈R，a2＋2b2＝6，求a＋b的最小值． 变式训练6 .求下列函数的值域 （1）y=2x-; (2)g(x)=-()x+4()x+5. 变式训练7. 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值． （三）不等式法 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法． 已知x0，y0，则 如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． 如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是2(简记：和定积最大)． 已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(