实变函数 N维空间中点集习题讲解.pptVIP

习题讲解 1 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集 2 每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并 3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E={x|f(x)a}是开集，而E1={x|f(x)≥a}是闭集 3 设f(x)是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E1={x|f(x)a}是开集，而E={x|f(x)≥a}是闭集 4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和E1={x|f(x)≥a}都是闭集 证明：我们只要证明充分性： 4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和E1={x|f(x)≥a}都是闭集 5 设f(x)在O(x0, δ)上有定义， 称为f(x)在x0处的振幅，若f(x)在开集G上定义，则对任意实数t，点集 为开集 ５的证明 振幅小于t的点全体为开集的证明 6 设f(x)在E上有定义， 称为f(x)在x0 ∈ E处的振幅，若f(x)在闭集E上定义，则对任意实数t，点集 为闭集 振幅大于等于t的点全体为闭集的证明 * * 第二章 n 维空间中的点集 证明：利用A-B=A∩Bc， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集， 　　有限个闭集的交仍是闭集即得。 任取 证明：设E为闭集，取 则Gn为开集， 再由E为闭集，可得x∈E 从而每个闭集必是可数个开集的交， 从而 通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并. 任取 要证E={x|f(x)a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点 ( ) x０ f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a 由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在δ0,当|x-x0| δ时,有f(x)a 证明：任取x0 ∈ E ={x|f(x)a},则f(x0 )a, 类似可证{x|f(x)a}为开集, 从而{x|f(x)≥a} ={x|f(x)a}c是闭集 即O(x0 , δ) ∈ E ={x|f(x)a}, 即x0为E的内点，从而E为开集； 注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性 另证：要证E={x|f(x)≥a}是闭集，只要证 任取x0 ∈ E = {x|f(x)≥ a} ,则存在E中的点列{xn} , 使得 由f(x)在x0处连续及f(xn)≥a ，可知f(x0)≥a 所以x0 ∈ {x|f(x)≥ a} ,从而{x|f(x)≥a} 是闭集， 类似可证{x|f(x)≤a} 为闭集, 从而{x|f(x)a} = {x|f(x) ≤a} c是开集 另证：我们只要证明充分性： f(x)在区间(a,b)上的振幅 （　　　） 　　x０ 随δ的减少而减少 G G 说明：5与6不能通过取余集而由一个的证明立即 得到另一个的证明；因为定义域已限制好， 在定义域的外面函数没有取值。 证明： x0 δ x δ * * *