数学中极限思想.docVIP

浅谈中学数学中极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想是近代数学的一种重要思想极限思想是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物极限思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想借助间接证法归谬法来完成了有关的证明16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向极限思想的进一步发展微积分16世纪的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题牛顿和莱布尼茨建立微积分到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础所谓，就是指“如果对任何，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立”这个定义，借助不等式，通过和之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用中学数学典型的就是在求圆面积时候的分割法（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的. 在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？ 如图1-1是一个以为半径的圆，我们给这个圆作条半径，如图1-2所示. 图1-1 图1-2 这样我们就可以发现，圆的面积是由个小扇形相加得来.这时你会发现，当不断增大时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧，高为圆的半径. 我们知道三角形的面积为,则整个圆的面积为 由于 带入即可得出圆面积的近似值为：，当越大时越精确，当即得证. 圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想的图像. 分析 函数的定义域为.且为奇函数，因此可以先做出时的函数图像. （1）当时，由基本不等式可得，当且仅当时； （2）当 时，，所以是的一条渐近线； （3）当时，，，所以也是的一条渐近线. 由此三个条件即可作出函数的图像.如图2-1： 图2-1 极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点. 例2 试讨论函数的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为： 从数形结合的角度来看，函数值可以看成做是平面直角坐标系中轴上的动点到两定点、的距离之差，即（如图2-1），由平面几何的知识，易得当移动到(在线段的延长线上)点时值最大.下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当在如图中（线段的垂直平分线与轴的交点）右侧移动时；②当在与中间移动时；③当在左侧移动时. 图2-1 图2-2 下面我们先看①时 由于，不妨记，图2-2中，点、均在的右侧（其中又在的右侧）.我们来比较与的大小，移项之后即比较与的大小.设与相交于点,则有 即 所以当在右侧向右运动时，的值越来越大，下面我们讨论有无最大值. 上面已知 于是当时，的值越来越大的趋近于，但是永远都不可能达到，即没有最大值.但是，即.所以在第①情况下的取值范围为. 同理，在第③种情况下，当在左侧时，讨论.计算可得的取值范围为. 在第②种情况下，当在与之间且由向移动时，值不断增大，所以的取值范围为. 综上所述，本题的值域为，即无最小值，最大值为. 本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙. 3 极限思想在数列中的应用 极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是 等比数列的求和公式是要分情况的，即和的情况这样最简单的等比数列常数列就被分裂出来就的情况，讨论时，的极限.