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数学浙教版九上相似三角形性质和应用

已知:如图,△ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’的相似比是k,AD、A’D’是对应高。 求证: 你能类比证明吗? 相似三角形对应中线的比与对应 角平分线的比等于相似比。 练习 练习 2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BD,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______. * * 三角形相似的应用(1) 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁边原有一个面积为100平方米,周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大?它的周长是多少? 你能够将上面生活中的问题 转化为数学问题吗? D E 30m 18m B C A 算一算: ΔABC与ΔA’B’C’的相似比 是多少? ΔABC与ΔA’B’C’的周长比 是多少? 面积比是多少? 4×4正方形网格 看一看: ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系? 为什么? 想一想: 你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系?面积比与相似比又有什么关系? (相似) √2 2 √2 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A’ C’ B’ 4×4正方形网格 验一验: 是不是任何相似三角形都有此关系呢? 你能加以验证吗? 想一想: 你发现上面两个相似三角形的 周长比与相似比有什么关系? 面积比与相似比又有什么关系? 周长比等于相似比, 面积比等于相似比的平方 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A’ C’ B’ A B C A’ B’ C’ 相似三角形的周长比等于相似比, 面积比等于相似比的平方 已知:Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k. =k2 k 两个相似三角形的对应高之比等于相似比。 求证: Δ ABC的周长 Δ A’B’C’的周长 = s?ABC s?A’B’C’ A B C B’ A’ C’ D D’ 证明: ∵△ABC∽△A’B’C’ ∴∠B= ∠B’ ∴∠ABD=∠A‘B’D‘=90O ∴ △ABD∽△A’B’D’ 两个相似三角形的对应高之比等于相似比。 已知两个三角形相似,请完成下列表格 相似比 周长比 面积比 注:周长比等于相似比,已知相似比或周长比, 求面积比要平方,而已知面积比,求相似比或 周长比则要开方。 2 4 100 100 10000 1 9 1 3 1 3 2 ... ... ... 例1. 如图:是某市部分街道图,比例尺为1:10 000;请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。 A B C D 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁边原有一个面积为100平方米,周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大?它的周长是多少? D E 30m 18m B C A B A C D E 解:如图,已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC的周长为80m,面积为100m2, 求ΔADE的周长和面积 30m 18m A D E 1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变,则 ΔEFC的面积等于多少?BDEF面积为多少? 2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2. 请猜想:S与S1、S2之间存在怎样的关系? 你能加以验证吗? √ S = √S1+ √S2 B C F 48m2 36m2 证明:DE//BC > ΔADE∽ΔABC > S1 S =( A C A E ) 2 EF//AB > ΔEFC∽ΔABC > S2 S = A C C E ( ) 2 √S > √S1 = A C A E √S > √S2 A C C E = } > √S √S √S2 √S1 + =1 √S1 > √S2 + √S = 16 36 30m 18m 1、如图, △ABC中,DE??FG??BC,AD=DF=FB,则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=_________ A B C D E F O

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