中值定理的条件.PPT

例2. 设函数 * * * 二、 考研真题 三、 典型例题讲析 四、 练习题 一、 内容总结 内容总结 1、微分中值定理，L’Hospital法则 ⊙理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式 ⊙了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的 条件，会用Taylor公式进行近似计算 ⊙熟练掌握L’Hospital法则 二、考研真题 设 在 内具有二阶连续导数且 , 试证: (1)对于 内的任一 ,存在惟一的 , 使 成立; (2) 01考研 设0ab，证明不等式： 02考研 典型例题讲析 例1 分析 要证 ，即要证 设函数?(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明在(a, b)内至少存在一点?，使 或 可取 F(x) = (b-x)[?(x) -?(a)]，利用罗尔定理证明. 证明 令 F(x) = (b-x)[?(x) -?(a)]，则有F(x)在 [a, b]上连续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知? ??(a, b)，使 ，即 在 上二阶可导, 且 证明 证: 由泰勒公式得 两式相减得 例3 解 求下列极限： 故该极限不存在. 注意：这里不能用罗必达法则. 例4 解 求下列极限： 总结：求函数的极限，不要拘泥于L’Hospital法则，综合运用所学的方法，往往会有事半功倍的效果. 课内练习题 1. f (x)在[0,1]上可导，0f (x)1，在(0,1)内 ，证明在(0,1)内有且仅有一点?，使f (? )= ?. 2. 求下列极限： 3.讨论方程 lnx=ax (其中a 0)有几个实根？ 4.证明不等式 5. 讨论函数 的性态，并作图. 6. 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导. 连接点A(a, f (a))和B(b, f (b))的直线段 AB 与曲线 y= f (x) 相交于点C(c, f (c)) (acb). 证明在内存在一点? ，使 . 7. 求下列极限： 8. 设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导. 证明存在一点??(a,b)，使 9. 某下水道涵洞的截面为矩形加半圆(如图). 截面的面积为5m2，问底宽为多少可使截面的周长最小，从而使建造时所用材料最省？ 练习题答案 2. 1. 提示：先证存在性(介值定理),再证唯一性(罗尔定理). （提示：用泰勒公式做） （提示：1?型） 3.记 当 时， 故 f(x)在 内严格单调增； 当 时， 故 f(x)在 内严格单调减； 从而 为最大值，又 于是 当 有 ，这时曲线y=lnx-ax与x轴只有一个交点，即原方程有唯一实根. 同理当 有 ， 当 有 ，这时曲线y=lnx-ax与x轴分别有两个交点和没有交点，即原方程分别有两个实根和没有实根. g(x)=tanx-x 在[0,x]上严格单调增， 即有g(x)=tanx-x g(0)=0 故 从而 f (x) 在 上严格单调增， 因此 f (x) f (0) = 0，即 (2)提示：取 f (t)=tlnt, t?(0,+?)，证明该函数严格下凸. 4(1)取 则有 再取 拐点 (0,0) 极大值 -27/4 + 0 - - - - + 0 + - 0 + (0,+?) 0 (-1,0) (-3,-1) -3 (-?,-3) x 5. 曲线有两条渐近线：x=-1, y=x-2，形态列表如下： 6.提示：对f (x)分别在[a,c]和[c,b]上运用拉格朗日中值定理，再对 在[?1, ?2]上运用罗尔