一个定积分性质的应用和延拓.doc

PAGE PAGE 10一个定积分性质的应用与延拓 摘要：本文利用定积分的一个性质，简化证明了平面曲线绕平面任一直线旋转的曲面面积公式以及两类平面曲线积分公式。在此基础上，通过分析证明过程得出了两类曲线积分关系。 其次，将该性质推广到二重积分情形，进而得出第一型曲面积分的简洁证明。 最后，由第一型曲面积分的证明过程引出问题，导出特殊情形下第一型曲线积分与第一型曲面积分转化公式的证明。关键字： 积分， 光滑， 旋转曲面， 方向余弦1.引言 在文献[1]中给出了定积分这样一个性质*：若f与g都在上可积，则 其中这个性质常不为人注意，在数学分析教科书中，通常只作为习题来安排。这个性质的特点是：在可积条件下，可以由两函数与g之积的非黎曼和数直接导出定积分。这就避免了化的黎曼和数的冗繁推理过程。事实上，在数学分析教材[1]中对各类积分计算公式的证明（例如平面两类曲线积分计算公式）都是以将函数的非黎曼和数化为黎曼和数为目标，经历了较为复杂的推理论证过程。若应用本论文所提及的性质*，将可以大为简化积分学中一系列计算公式的证明。而对性质*研究与应用，在若干文献中已有所提及。文献[2]粗略提到了性质*证明思想以及该性质在旋转曲面（平面曲线绕x轴旋转情形）面积计算公式与第一型曲线积分计算公式证明中的应用。文献[3】较为详尽得给出性质*证明过程，并且也将它应用到积分学中一类公式的证明。而其他文献则对性质*少有提及。笔者总结，性质*还有值得应用与推广的地方，已有的文献没有对性质*应用到平面曲线绕平面任一直线旋转的曲面面积公式的证明中去，也没有对性质*推广到二重积分的情形进行详尽证明，更没有从证明过程对各积分公式关系进行思考。本文将在原有文献基础上作如下工作： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①给出性质*推广到二重积分情形的详尽证明； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②应用性质*简化地得出平面曲线绕平面任一直线旋转的曲面面积公式的证明； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③结合第一、二型曲线积分公式的证明过程得出两类积分公式的关系； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④在曲面在平面上的投影为曲线的情形下，利用性质*简洁证明第一型曲线积分与第一型曲面积分的转化公式。性质*的提出与应用2.1引理1的证明下面把性质*作为引理1进行说明，首先对其进行严格的证明。引理1：若f与g都在上可积，则 其中证明：对上的任意分割T：有 又、g都在上可积，故由定积分性质知在上有界且在上可积，即存在常数M，对任何都有于是 其中为在上的振幅 而在上可积，结合可积的充要条件得 =0 故有 又在上可积 = 证毕！2.2 平面曲线绕平面任一直线旋转的曲面面积计算公式定理2：设为平面内一条光滑曲线弧，为平面内一条直线，方程为：(A,B,C为常数)，将绕旋转一周，得到一旋转曲面，则该旋转曲面的面积为 证明：设上的任一个分割T: 相应地记曲线上的点，作曲线的内折线，将弦绕直线旋转得到圆台面，设其面积为，则曲线绕直线旋转曲面面积可近似看作设为曲线上的点到直线的距离，则而由圆台面积公式得由拉格朗日中值定理知 = 故有 =而由于为光滑曲线，则可知在上可积且在上连续，进而知在上连续，故在上也可积。有引理1，即得旋转曲面面积为= 证毕！2.3 第一型曲线积分计算公式 定理3：设有光滑曲线L:，函数为定义在L上的连续函数，则证明：对曲线L上任一分割:T={，（，，记且，相应便可得上一个分割由弧长计算公式得=，又由于L为光滑曲线，可知在上连续，结合积分中值定理得 由曲线L的光滑性可知，当于是由第一型曲线积分的定义得 而由L为光滑曲线，可知在上可积，于是由引理1即得 证毕！2.4 第二型曲线积分计算公式定理4：设平面曲线L: 为上的有向光滑曲线，又设为L上的连续函数，则沿L从A(到的第二型曲线积分为 证明：下首证 对曲线L的任一分割T={,其中=A,=B,记第个小弧段为，其弧长为，，相应地记点对应的坐标为，从而分割T对应着区间上的分割，由曲线L的光滑性可知，当于是由第二型曲线积分的定义知 =由微分中值定理知 = 于是 由引理1即得 同理可证 于是便得证 证毕!2.5 从定理3与定理4的证明过程看两类平面曲线积分公式的关系先来关注一个概念——方向余弦假定L:为上的有向曲线弧，L的起点A、终点B分别对应参数且曲线L光滑，即函数上具有一阶连续导数且，则有向曲线弧