多元函数的基本概念讲解课件.ppt

6.2 多元函数的基本概念 6.2.1 邻域与平面区域 1.邻域: 设 是 xOy 平面上的一个点, 即 称为点 的δ 邻域. 称为点 的δ去心邻域. 2.平面区域 设E是平面上一个点集, P 是平面上一点, 若存在 称点P为点集E的内点. 若点集E的点都是内点, 则称点集E为开集. 若点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点,也有不属于 E 的点, 称P为E的 边界点. 边界点的全体称为 E 的边界. E P 若对D内任意两点 则称 D 是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称为闭区域. 设D是开集, 都可用包含于D内的折线连结起来, 例如 开集： 边界： 区域 例如： 闭区域 x y 3 1 E P E D 例如, 无界的开区域 有界的闭区域 3. n维空间 设 n 为取定的一个自然数， 称n元有序数组 的全体为n维空间． 为n维空间中的一个点． 数 称为该点的第i个坐标． n 维空间记为: 对点集E, 若存在正数M, 使对E中任意两点 P、Q, 都有 ，则称E为有界点集， 否则称为无界点集. x y o x y 2 1 D 一维空间: 二维空间: 三维空间: 前面介绍的平面上的邻域和平面区域的有关概念，均可推广到 n 维空间 上. 二维空间: 6.2.2 二元函数的概念 设Ｄ是一个非空的二元有序数组的集合， 都有唯一确定变量 z 的 量 z 是变量 x, y 的二元函数, 记作: 其中 x, y 称为自变量, z 称为因变量. 集合Ｄ称为函数的定义域， 全体函数值的集合 称为函数的值域， 类似可定义三元、四元函数， 二元以上的函数称为多元函数． 定义6.2.1 若对于每一有序数组(x, y) ∈Ｄ, 　 f 是一对应 1. 二元函数的定义 法则. 值与之对应， 则称这个对应法则 f 是定义在D上的函数， 或称变 z = f (x, y) (x, y) ∈Ｄ 记作: 对于 按照 f 与之对应的因变量 z 的值称 为函数在点 处的函数值，记作 f 或 记作: xOy平面上的平面区域 定义6.2.1* 定义6.2.1也可叙述为： 设Ｄ是平面上一点集， f 是一对应法则， 都有唯一确定的值 z 与之对应， 则称变量 z 是变量 x, y 的二元函数, 记作: z = f (x, y). 若对于内每个点 P (x, y) ∈Ｄ,　 例1．求二元函数 的定义域. 解 ∵ ∴ 例2．求函数 z = ln( x + y ) 的定义域. ∵ 解 ∴ 有界闭区域 无界开区域 2. 二元函数的几何意义 二元函数 z = f (x , y) 的图形是空间直角坐标系下的一张曲面，该曲面在xOy平面上的投影就是该函数的定义域. 例如, —— 平面. ——上半球面. ——旋转抛物面. 曲面上点的坐标: M ( x , y , f (x , y) ) 设函数 z = f (x , y)在点 某邻域内有定义(点 可除外), 若对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ, 使当 时, 恒有 成立， 则称当(x , y) →(x0 , y0 )时,函数 f (x , y)以a 为极限， 记作: 或 f (x , y) → a ((x , y) →(x0 , y0 )). (x , y) →(x0 , y0 )是指(x , y)以任何方式趋于(x0 , y0 ) 6.2.3 二元函数的极限 定义6.2.2 a为常数， 或 注意 二重极限 例1. 考察函数 当 (x , y) →( 0 , 0 )时的极限. 解 当点 (x , y) 沿 x 轴趋于点 (0 , 0) 时，有 所以 不存在． 当点 (x , y) 沿 直线 y = x 趋于点 (0 , 0) 时，有 可见，当点 (x , y) 沿不同方式趋于点 (0 , 0) 时，函数 f (x , y)趋于不同值， 例2. 证明 证 对 ∴ 当 时,有 所以 成立. 而 于是， 当 时,有 例3. 求下列极限： 解 (1) 由 得 (2) ∵当 (x , y) ≠(0 , 0)时，有 ∴ 当 (x , y) →(0 , 0) 时, 有界， 又 于是，由无穷小的性质，可得 (3) ∵当 xy ≠