第22讲 空间位置关系和证明.docVIP

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第22讲 空间位置关系和证明

专题22 空间位置关系与证明 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.(浙江)若是两条异面直线外的任意一点,则(B ) A.过点有且仅有一条直线与都平行 B.过点有且仅有一条直线与都垂直 C.过点有且仅有一条直线与都相交 D.过点有且仅有一条直线与都异面 2.(06湖南)如图,过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3.(湖北)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,给出下列四个命题: ①; ②; ③与相交与相交或重合; ④与平行与平行或重合. 其中不正确的命题个数是( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(湖北)关于直线、与平面、,有下列四个命题:(D ) ①且,则; ②且,则; ③且,则; ④且,则. 其中真命题的序号是: A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5.在正方形中,过对角线的一个平面交于E,交于F,则( ) 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面 以上结论正确的为 ①③④ 。(写出所有正确结论的编号) 6.(上海)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件: ,并且与相交(,并且与相交) ★★高考要考什么 线与线的位置关系:平行、相交、异面; 线与面的位置关系:平行、相交、线在面内; 面与面的位置关系:平行、相交; 二.转化思想: ; ★★★高考将考什么 【范例1】如图,在四棱锥中,底面,,,是的中点. (Ⅰ)证明; (Ⅱ)证明平面; (Ⅲ)求二面角的大小. (Ⅰ)证明:在四棱锥中, 因底面,平面,故. ,平面. 而平面,. (Ⅱ)证明:由,,可得. 是的中点,. 由(Ⅰ)知,,且,所以平面. 而平面,. 底面在底面内的射影是,,. 又,综上得平面. (Ⅲ)解法一:过点作,垂足为,连结.则(Ⅱ)知,平面,在平面内的射影是,则. 因此是二面角的平面角. 由已知,得.设, 可得. 在中,,, 则. 在中,. 解法二:由题设底面,平面,则平面平面,交线为. 过点作,垂足为,故平面.过点作,垂足为,连结,故.因此是二面角的平面角. 由已知,可得,设, 可得. ,. 于是,. 在中,. 所以二面角的大小是. 所以二面角的大小是. M变式:如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱. M (1)证明//平面; (2)设,证明平面. 证明:(Ⅰ)取CD中点M,连结OM. 在矩形ABCD中,,又,则, 连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE, EM平面CDE, ∴ FO∥平面CDE (Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中, 且. 因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M, ∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO. 而,所以EO⊥平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,注意线面平行和线面垂直判定定理的使用,考查空间想象能力和推理论证能力。 ABCD【范例2】如图,在六面体中,四边形 A B C D 2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面 ,平面,. (Ⅰ)求证:与共面,与共面. (Ⅱ)求证:平面平面; (Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示). 证明:以为原点,以所在直线分别为轴, 轴,轴建立空间直角坐标系如图, 则有. ABCD A B C D . . 与平行,与平行, 于是与共面,与共面. (Ⅱ)证明:, , ,. 与是平面内的两条相交直线. 平面. 又平面过. 平面平面. (Ⅲ)解:. 设为平面的法向量, ,. 于是,取,则,. 设为平面的法向量, ,. 于是,取,则,. . 二面角的大小为. 解法2(综合法): (Ⅰ)证明:平面,平面. ABCD,,平面平面. A B C D 于是,. 设分别为的中点,连结, 有. , 于是. 由,得, 故,与共面. 过点作平面于点, 则,连结, 于是,,. ,. ,. 所以点在上,故与共面. (Ⅱ)证明:平面,, 又(正方形的对角线互相垂直), 与是平面内的两条相交直线, 平面. 又平面过,平面平面. (Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,, 根据三垂线定理,有. 过点在平面内作于,连结, 则平面, 于是, 所以,是二面角的一个平面角. 根据勾股

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