第五节乘积测度和傅比尼.ppt

福州大学数学与计算机学院聂建英 第五节乘积测度与傅比尼定理 目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。 重点与难点：Fubini定理及其证明。 勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要f (x , y) 在Rn × Rm 上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处． 问题1：回忆微积分中如何化重积分为累次积分？ 什么样的积分区域可以使重积分化成累次积分？ 下面引进可测集与可测函数的截口概念. 问题2： 在一般可测集上如果考虑重积分化成累次积分问题，应首先考虑什么问题？ 本节内容要点 练习 209页 题26, 题27 It’s The End！ Thank You！ Department of Mathematics Real Analysis * * Department of Mathematics 本节内容: 建立重积分交换次序的傅比尼定理. 为此需建立乘积空间与乘积测度,故先从积集的概念出发. 一个基本的问题是：若 均为可测集，是否 为 中的可测集？如果 也可测，那么 的Lebesgue测度与 A 及 B 的Lebesgue测度是什么关系？下面的定理回答了这个问题。 矩形的可测性 定理： 设A,B分别是Rn和Rm中的可测集，则A×B是Rn+m中的可测集， 且m(A × B) = mA × mB 首先假设 A 与 B 都有界。 (i) 如果 A, B 都是长方体，则 A×B 是 中的长方体，显然可测。 如果 A, B 都为开集，则存在两个互不相交的长方体序列， 使得 证明：(1) 有界情形 于是 这说明 A×B 也是互不相交的长方体序列的并,它当然可测,且 (iii) 如果 A, B 都是 型集,则可以找到两个单调下降的开集序列 使得 于是 注意到每个 都可测，故 可测，且 (iv) 现在假设 A, B 是一般的有界 可测集，则存在 型集 G 及 ， 使 ， 且 ， 于是 。由(iii)知 可测，且 。 注意到 故 我们证明 事实上 ，故存在 型集 及 ，使 且 。 又由于假设了 A, B 都有界，所以存在长方体 I, J，使 ，于是 进而 但 ， ， 因 此 ， 这说明 均是零测 集从而可测。 同理可证 的外测度也为零从而可测。 综上知 A×B 是可测集，且 最后，假设 A, B 是无界可测集，则 A 与 B 可以写成一些互不相交的有界可测集之并： ，从而 (2) 无界情形 然而 可测，且 于是 A×B 可测，若 mA 与 mB 都不为0， 则由测度的可数可加性得 若 mA 与 mB 至少有一为0，不妨设 mA = 0，则每个 Ai 的测度均为 0， 于是 。定理证毕。 由于上述定理，我们也把可测集 与 的乘积称作可测矩形。