线性代数 第07章 线性空间和线性变换.ppt

第7章 线性空间与线性变换 7.1 维线性空间 7.2 线性变换 7.3 线性变换的矩阵表示 * * 本章介绍线性空间的基本概念与基本运算，介绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容： 线性空间的概念、基、维数与坐标 基变换与坐标变换公式 线性变换的概念、简单性质与运算 线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 线性变换运算所对应的矩阵 线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件 维线性空间的概念 7.1.1 定义1 设 是一个非空集合， 是一个数域,在 中定义了两种代数运算： 1．加法 对于 中任意两个元素 按某一法则,在 中都有惟一的一个元素 与它们对应,称为 的和,记作 2．数量乘法 对于 任意元素 和数域 中的任意数 按某一法则,在 中都有惟一的一个元素 对应,称为 与它们 与 的数量乘积，记作 一般称集合 对于加法和数量乘法这两种运算封闭． 如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，则称 是数域 上的一个线性空间．其中： （3）在 中有一个元素 ,对于 中任一元素 ,都有 .称元素 为 的零元素 （4）对于 中每一个元素 ,都有 中的元素 使得 .称元素 为 的负元素,记作 ,即 (5)对数域 中的数1和 中的任一元素 ,都有 是任意实数) 注: 凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间． 线性空间具有下列性质： 性质1 线性空间的零元素是惟一的； 性质2 线性空间 中每个向量的负向量是惟一的； 性质3 性质4 如果 ,则 或 7.1.2基、维数与坐标 定义2 在线性空间 中,如果存在 个元素 满足: 中任一元素 总可以由 线性表示, 那么, 称为线性空间 的一组基, 称为线性空间 的维数 线性无关; 定义3 设 是 维线性空间 的一组基 是 中任一元素，如果 这组有序数组就称为元素 在 这组基下的坐标，并记作： 建立了坐标后，就把抽象的向量（元素）与具体的 数组向量 联系起来了并且,还可把抽 象的线性运算与数组向量的元素联系起来． 设 为一组基 于是 7.1.3基变换与坐标变换公式 设 与 是线性空间 中的两个基 利用分块矩阵的乘法形式，可将上式记为 或 其中 称为由基 到 过渡矩阵. 中的每一列元素分别是基 在基 下的坐标； 称为基变换公式 定理1设 中的元素 在基 下的坐标为 ,在基 下的坐标为 ,若两个基满足 则有坐标变换公式 或 例8 设 是线性空间 的一组基 为一个二阶可逆矩阵，令 显然， 也线性无关，因此 的一组基,并且满足 也是 是由基 到 的过渡矩阵. 例9 设由所有二阶矩阵组成的线性空间 的两个基为： （1）求由基 到基 （2）分别求 的过渡矩阵； 在上述两个基下的坐标； （3）求一个非零矩阵 ,使 在两个基下的坐标相同． 解 （1）因为 写成矩阵形式，就有 于是矩阵 到基 的过渡矩阵； 即是由基 （2）由 于是, 在基 下的坐标为 在基 下的坐标为 (3)设 在上述两个基下坐标相同,由(2)知,应有 ,故 为在给定的两组基下坐标相同的非零的二阶矩阵． 7.2.1线性变换的定义 定义4 设有两个非空集合 如果对于 中的任一元素 ,按照一定的规则,总有 中一个确定的元素 对应,那么,这个对应规则就称为从集合 和它 到集合 的变换(或映射). 我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作 ,并记 或 定义5 设 分别是实数域上的 维和 空间, 维线性 是一个从 到 的变换,如果变换满足: （1）任给 ,有 （2）任给 ,有 那么 就称为从 到 的线性变换 如果 ,那么,称 为 中的线性变换. 7.2.2线性变换的简单性质 线性变换有以下性质: 性质1 性质2 若 ,则 性质3 若 ,则 线性相关. 线性相关 性质4 线性变换 的像集 称为线性变换的像空间； 是一个线性空间, 性质5 使 的 的全体 也是一个线性空间, 称为线性变换 的核. 例17 设有 阶矩阵 其中 中的变换 为线性变换 的像空间为 的核 就是齐次线性方程组 的解空间 7.2.3线性变换的运算 1.线性变换的加法 定义6 设 是线性空间 定义它们的和 的两个线性变换, 为 容易证明,线性变