复变函数第1讲解析课件.ppt

* 巴比倫人並沒有負數根。 見《九章算術》「勾股章」第二十題。 * 覬覦，音「記如」，解作不應得而希望得到，非份的希望或企圖。 * * * * * 复数向量表示的重要意义： 能够将代数问题化为几何问题，从而使问题 变得直观, 由此立即得到下面不等式： o x y (z) z1 z2 z1+z2 z2- z1 两点距离公式 显然 为整数. 3.复数的模与辐角 复数的三角表示 根据 上式称为复数的三角表示. O x y 可以得到 复数的指数表示 由欧拉公式 可以得到复数的指数表示式: (1) 南极、北极的定义 x y O N S z 复数的球面表示 x x O N S z P(z) z 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. (2) 复球面的定义 用来表示复数的这个球面称为复球面. 全体复数与复球面-{N}成一一对应关系. 因而球面上的北极 N 就是复数?的几何表示. x x O N S z P(z) z (3) 扩充复平面的定义 我们规定: 北极N与一个模为无穷大的假想的点对应 这个假想的点称为“复数无穷远点” 记作??. 复平面加上??后称为扩充复平面，记作C? 注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面。 关于∞的运算，规定如下： 仍然不确定。 * 1、乘积与商 因此 注意多值性 4.复数的乘幂与方根 * x y O 判断下列说法是否正确？ 几何解释 (T) (F) * 除法运算 或者 集合等式 * 例1：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。 x y O * 2、幂与根 (2.1)定义z的n次幂： 则有 —--- 棣莫弗公式. (2.2) 定义z的n次根： 若有 w n=z,则称w为z的n次根，记为 定义 * 如何求z的n次根呢？ * 当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根： * x y o 注 * 例3. 例2. * * 例1 法一 法二 麻烦 5. 共轭复数 另外，还经常用到以下性质： 显然 例2 求复数 （复数 ）的实部、虚部 和模。 解 （1）因为 （2）因为 并用此等式证明三角不等式。 证 其次 则 * 例2：设 试写出f (z)的关于z表达式。 分析：令 解出x, y代入表达式整理可得。 例3：设 分析：令 * 例4：试证下列等式 分析： 6. 复数在几何上的应用举例 例9. 下列方程各表示什么曲线？ 4） 写出直线的复数形式方程. 1） 2） 解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义， 所以：1）表示圆周， 2）表示直线. 3） 3）化为实方程，为此代入 ，得 化简，得 ，表示一条直线. 4）由 得 代入直线方程 因而直线的方程为 ，其中 为实数. 例4 求证：三个复数 成为一个等边 三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式 证 x y O 即 即 两边平方化简可得。 例 4 证明三角行的内角和等于 证 由 则 由 有 本讲小结： 1、复数的各种表示法 2、复数的四则运算、共轭运算,幂与方根 代数表示 三角表示 指数表示 几何表示 复变函数论 主讲 吕巍然 Tel:中国石油大学（华东） 充分理解、熟练掌握教材的内容 熟练掌握基本的数学概念和定理 会计算或者证明一些题目 通过学习，具备一定的解决问题和分析问题的能力 掌握思想方法 教 学 目 标 三个重要环节 课前预习 课上积极讨论 课后及时消化、巩固 经常进行阶段复习 要 求 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的幂级数表示法 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 第六章 留数理论及其应用 第七章 共形映射 第八章 解析延拓 第九章 调和函数 序言 函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，数学分析研究的就是这一类函数）；另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）这门课就是介绍一下复变函数论。 先从二次方程谈起… 公式： 此公式早于公元前四百年，已被巴比伦人发现和使用。 在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方程有关的问题。 复变函数的产生和发展简史： 由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻找三次方程的解法。 很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大的进展！ 怪杰 卡丹诺 (Girolamo C