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一个常见数学题类比拓展 　　对于一些的常见题目，若熟视无睹，则只能是就题论题，简单累加；若是勤于思考，就可做到举一反三，掌握一类题的解法.本文以一个常见的题目为媒介，使用类比手法，得到一组结论. 　　【例】 已知：抛物线y2=2px(p0)，AB是它的一个动弦（即A、B都在抛物线上），且OA⊥OB（O是坐标原点），证明：弦AB过定点M（2p,0）. 　　证明过程略.若坐标原点O换成抛物线上的其他任意点，比如C（x0,y0）时，弦AB也过定点. 　　结论1：抛物线y2=2px(p0)，AB是它的一个动弦（即A、B都在抛物线上），C（x0,y0）是抛物线上的 一定点，则CA⊥CB是动弦AB过定点M（x0+2p, －y0）的充分必要条件. 　　证明：先证必要性.由CA⊥CB证AB过定点M（x0+2p, －y0）. 　　设直线AB的方程是x=my+n， 　　代入抛物线y2=2px得y2-2pmy-2pn=0. 　　设A（x1，y1），B（x2，y2），则 　　y1+y2=2pm， ①y1y2=-2pn. ② 　　因为CA⊥CB，所以CA ?CB=0，即(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0. 　　将x1=y212p，x2=y222p，x0=y202p代入上式得 　　(y21-y20)(y22-y20)4p2+(y1-y0)(y2-y0)=0， 　　而y1≠y0，y2≠y0，所以(y1+y0)(y2+y0)4p2+1=0， 　　即y1y2+y0(y1+y2)+y20+4p2=0. 　　把①②代入上式得－2pn+y02pm+y20+4p2=0， 　　n=y202p+my0+2p 　　=x0+my0+2p， 　　代入直线x=my+n得x=my+x0+my0+2p，即x=m(y+y0)+x0+2p， 　　也就是动弦AB过定点M（x0+2p, －y0）. 　　把以上过程反方向推导，即是充分性的证明. 　　注意到，自圆上任意一点做两条垂直的弦，另外两端点的连线恰好是直径，即过定点圆心，也就是此结论对圆成立.对其他圆锥曲线呢？下面将进一步探讨. 　　结论2：对于椭圆x2a2+y2b2=1（ab0），点C（x0,y0）是椭圆上的一定点，AB是它的一动弦，则CA⊥CB的充要条件是动弦AB过定点M(c2a2+b2x0,-c2a2+b2y0)（其中c2=a2-b2）. 　　证明：先证必要性. 　　当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程是x=my+n，代入椭圆方程得(b2m2+a2)y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0. 　??设A（x1，y1），B（x2，y2），则 　　y1+y2=-2b2mnb2m2+a2， ①y1y2=b2n2-a2b2b2m2+a2. ② 　　因为CA⊥CB，所以CA?CB =0，即(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0. 　　用x1=my1+n， x2=my2+n，代入上式得 　　(my1+n-x0)(my2+n-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0， 　　即(m2+1)y1y2+(mn-mx0-y0)(y1+y2)+(n-x0)2+y20=0. 　　将①② 　　代入上式得 　　(m2+1)b2n2-a2b2b2m2+a2+(mn-mx0-y0)-2b2mnb2m2+a2+(n-x0)2+y20=0, 　　去分母后整理得(b2m2n2-a2b2m2+b2n2-a2b2)+(-2b2m2n2+2b2m2nx0+2bmny0)+(b2m2n2-2b2m2nx0+b2m2x20+b2m2y20+a2n2-2a2nx0+a2x20+a2y20)=0， 　　即-a2b2m2+b2n2-a2b2+2b2mny0+bm2x20+b2m2y20+a2(n-x0)2+a2y20=0， 　　将第2、4、6项放在一起整理得：b2(my0+n)2+a2(n-x0)2+b2m2(x20-a2)+a2(y20-b2)=0. 　　由x20a2+y20b2=1 　　得b2(x20-a2)＝-a2y20以及a2(y20-b2)＝-b2x20,