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不同结果是怎样产生 　　一、问题缘起 　　最近在引导学生应用数列性质解决问题的过程中涉及一道题的两种不同解法，感觉非常有道理有依据的两种思路方法在针对同一题目的解答中却产生了截然不同的结果，究竟错在哪里？错因是什么？怎样纠正？问题探究和解决的过程，看似曲折，却始终让人兴趣盎然，使师生在应用和实践中更加深了对数列知识的正确理解，促进了学生综合分析能力和应用能力的提高. 　　这个数列问题叙述如下： 　　设{an}，{bn}均为等差数列，Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n+2n+3，试求a7b7的值. 　　这是一道考查数列公式和性质的经典题，大多数人习惯于使用以下第一种思路来解决. 　　先来看第一种方法思路的依据和证明： 　　等差数列性质1：m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq； 　　特别地，如果2m=p+q，则2am=ap+aq.（证明略） 　　等???数列性质2：若{an}，{bn}均为等差数列，Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，则 　　anbn=S2n-1T2n-1（n∈N*）. 　　性质2证明：ⅰ）若n=1，则a1b1=S1T1，显然成立； 　　ⅱ）当n≥2，n∈N*时，由性质1，2an=a1+a2n-1，2bn=b1+b2n-1，所以 　　anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12a1+a2n-12n-12（b1+b2n-1）①， 因为等差数列前n项和公式为Sn=n（a1+an）2，所以 　　①式变为：anbn=2n-12a1+a2n-12n-12b1+b2n-1=S2n-1T2n-1. 　　性质2的结论，当n为奇数时的证明，也可以采用将“Sn=na中” 这一等差数列和的性质逆向应用到上面比例式而得到结论的方法. 　　直接应用性质2就是解决上面例题的第一种方法思路： 　　因为Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，又SnTn=7n+2n+3， 　　所以a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316. 　　再来看第二种方法思路的依据： 　　数列的基本性质：若Sn为数列{an}的前n项和，则an=S1，（n=1），Sn-Sn-1，（n≥2，n∈N*）. 　　根据上面数列的基本性质，可得到解决例题的方法思路2： 　　由基本性质a7=S7-S6，b7=T7-T6， 　　因为SnTn=7n+2n+3，设Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k（k为非零常数）， 　　则a7b7=S7-S6T7-T6=51k-44k10k-9k=7. 　　使用第一种思路方法得到a7b7=9316，使用第二种思路方法得到a7b7=7. 　　使用两种不同的方法解答却产生了不同的结果，问题究竟出在哪里？两种方法使用的依据都是正确的，按理两种思路方法都能够顺利进行下去并产生正确的结果.分析起来，肯定还是有一种思路方法的运用过程中出现了不易发觉的错误！ 　　二、找出“美丽”错误，增进问题理解 　　首先，性质1和性质2是等差数列和的重要性质，是经过严格证明成立和认可的.第一种方法是使用性质2代入n=7直接得到结果，即a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316，中间没有其他推理和变形，因此我们可以断定这种解答的结果是正确的.那就初步断定第二种思路方法得到的结果肯定是错误的！ 弄清错在何处和错误原因是我们希望研究清楚的问题.我们需要对使用第二种思路方法解答的每一步骤进行细致的分析！ 　　对所有数列来说，若Sn为数列an的前n项和，则an=S1，（n=1），Sn-Sn-1，（n≥2，n∈N*），这个性质也是恒成立的，因此a7=S7-S6，b7=T7-T6的使用不存在任何问题. 　　这样，可供反思的环节就落在根据SnTn=7n+2n+3，设Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k（k为非零常数）这个看似顺理成章的步骤上了.在解决有关比例问题的题目中，我们经常把比例式设为上述形式，例如“已知ab=35，求2a-b3a+2b的值”的问题中，我们就是设a=3k，y=5k（k≠0），代入目标式也就可以马上得到正确结果了. 　　因此， 由题意条件SnTn=7n+2n+3，设Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k（k为非零常数）看起来顺理成章，剩下后面计算也没有错，这个解答似乎也没有什么问题！但是，在确信方法1正确的基础上，肯定是第二种的解答出现了问题，但究竟错在哪一步骤呢？找错似乎也不是一件简单的