中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第13讲 数与三角函数.docVIP

数学高考综合能力题选讲13 复数与三角函数 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青睐．考查的题型往往结合辐角主值、积化和差、和差化积公式等命制． 范例选讲 例1 已知，且，，求的值． 讲解：由于涉及到辐角主值与模，所以，不妨将写成三角形式． 由， 且，所以，． 又，，所以， ，， 所以． 又由可知：，所以，． 所以，． 点评：本题的突破口在于对，的处理．由于分别涉及到角α，β，且互不相关，所以只需将分别化为三角形式即可． 例2 已知复数满足，且，求的值． 讲解：设复数的三角形式去解本题是常规思路． 设， 因为，所以， 和差化积，得， 所以，． 所以，． 点评：如果注意到模为1的复数的特性：，则由可得：，即，也即．所以，． 例3 已知． 当为何值时，取得最大值，并求此最大值． 若，求（用表示）． 讲解：（1） 所以，当时，取最大值． （2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值．设=α，则由于 = 所以，． 因为， 所以，的实部=〉0，的虚部=． 当时，0，Z所对应的点位于第四象限．由于，所以，=α． 当时，≥0，Z所对应的点位于第一象限（或x轴正半轴）．由于，所以，=α． 点评：正确解答本题，一要注意到辐角主值的范围，二要注意到正切函数在上并非单值函数，三要正确运用诱导公式． 高考真题 （1999年全国高考） 设复数z＝3cosθ＋2isinθ,求函数y＝θ－argz(0＜θ＜的最大值以及对应的θ值． 2．（2001年全国高考）已知复数， （Ⅰ）求及； （Ⅱ）当复数满足，求的最大值． [答案与提示：1．当θ=arctan时，y取得最大值arctan；　2．（Ⅰ）=，=；（Ⅱ）的最大值为+1．]