中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第12讲 复数的算与几何意义.doc

数学高考综合能力题选讲12 复数的运算与几何意义 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题． 范例选讲 例1 若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数． 讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题． 解1： 设，，，则由可得： 利用，可解得：， 所以，． 当时，，； 当时，，． 若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2． 解2：由题可知都等于1，又由得：，所以，， 所以，所对应的点的轨迹为圆与圆的交点． 解之得：． 以下同解1．略． 用复数的代数形式去解本题也未尝不可． 解3：设，其中，则由题可得： 解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、（7）只与相关，则可将此四个方程联立，解得：，所以，． 下略． 点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱． 例2 设复数满足：，，它们在复平面内分别对应于不同的点A、点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积． 讲解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系． 首先，，所以，，解这个关于的方程，得：． 所以，，， 所以，． 所以， ． 等号当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为． 点评： 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键． 高考真题 1．（1994年全国高考）已知z＝1＋i,＝z＋3－4,;； （Ⅱ）如果＝1－i,a,b的值. 2．（1995年全国高考）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(O为原点),已知Z2对应复数z2＝1＋i,1和Z3所对应的复数． 3．(1997年全国高考)已知复数z＝,,z2w3在复数平面上所对应的点分别为P,Q,证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O是原点). [答案与提示：1．（Ⅰ）；（Ⅱ）．　 2．；． 3．略．]