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全国2002年4月自考性代数试题答案
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全国2002年4月自考线性代数试题答案
课程代码：02198
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15. 6
16.
17. 4
18. –10
19. η1+c(η2-η1)（+c(η2-η1)），c为任意常数
20. n-r
21. –5
22. –2
23. 1
24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT=
=.
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
|A|=.
所以|4A|=64·（-2）=-128
26.解
=
=
27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
（A-2E）-1=
所以 B=(A-2E)-1A=
=
28.解一
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A
=B.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.
经正交标准化，得η1=，η2=.
λ=-8的一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=.
对角矩阵 D=
（也可取T=.）
31.解 f(x1，x2，x3)x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
设， 即，
因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且
（E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，= b，
所以η1，η2是Ax=b的2个解。
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .
所以η0，
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全国2002年4月自考线性代数试题答案
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