北师大版七年级数学下册拓展材料：如何进行多式除以多项式的运算.doc

如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算 规范解法 ∴ 解法步骤说明： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式的第一项除以除式的第一项，得，这就是商的第一项． （3）以商的第一项与除式相乘，得，写在的下面． （4）从减去，得差，写在下面，就是被除式去掉后的一部分． （5）再用的第一项除以除式的第一项，得，这是商的第二项，写在第一项的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式相乘，得，写在上述的差的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果， 例2 计算． 规范解法 ∴ ……………………………余． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ ……………………………余． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算． 因为除法只对系数进行，和无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式： 将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数． 多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求除以的商式和余式． 规范解法 ∴ 商式，余式＝10． 例2 用综合除法证明能被整除． 规范证法 这里，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以能被整除． 当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求除以的商式和余数． 规范解法 把除以2，化为，用综合除法． 但是，商式，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变． ∴ 商式，余数． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用除以，得商式，余数为，即 ∴ ． 即 除以的商式，余数仍为． /