华东师范学2008年攻读硕士学位研究生入学试题.doc

华东师范大学 2008年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目代码及名称：高等代数 招生专业： 考生注意： 无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号） 以下，为整数集，为有理数域，实数域表示单位矩阵，表示的转置。 第一部分 选择题、是非题、填空题：（15*4=60分） 1．设是非齐次线性方程组的三个解，则下列向量中，（ ）仍是的解。 （A） （B） （C） （D） 2．设是一个阶方阵，则线性空间的维数等于（ ） （A） 的特征多项式的次数 （B） 的最小多项式的次数 （C）的初等因子的个数 （D）的秩 3．每个2007阶实矩阵至少有一个实特征值。 （ ） 4．设是由数域上维线性空间的一个线性变换，则。 （ ） 5．设是一个三阶实对称矩阵，1，-1是的两个特征值，其中-1是的一个二重特征值。已知是的属于特征值1的特征向量。则 是的属于特征值-1的正交特征向量。 6．设如果向量组与向量组等价，则 。 7．对任意实矩阵，齐次线性方程组与齐次线性方程组的解都相同。 （ ） 8．对于多项式，下列论断正确的是 ． (A) 如果对任意的，都有，则的系数都是有理数； (B) 如果对任意的，都有，则的系数都是实数； (C) 如果对任意的，都有，则的系数都是整数； (D) 如果对任意的，都有，则的系数都是正数。 9 正交变换的属于不同的特征值的特征向量正交。 （ ） 10．如果有有理根，则 。 11．为多项式的重根的充分必要条件是为的重根。 （ ） 12．设是的矩阵，是维列向量，则下列命题正确的是（ ） (A) 当有非零解时，则也有解； (B) 当有解时，则必有无穷多解； (C) 当有唯一时，则也有唯一解； (D) 当无解时，则仅有零解。 13．已知矩阵的特征多项式，则的逆矩阵是 。 14．实二次型的正、负惯性指数分别是 。 15．已知是阶方阵，如果，则。 （ ） 第二部分 计算题、证明题 （共6题，共90分） 16．（20分）设是由数域上一个矩阵，是一个维非零列向量。 令 （1）证明：关于的运算构成的一个子空间； （2）设线性方程组的增广矩阵的秩为，证明的维数； （3）对于非齐次线性方程组 求的一个基。 17．（10分）试求矩阵 的若当典范形（Jordan canonical form）. 18．（20分）设矩阵 （1）证明为正定矩阵； （2）试求正定矩阵，使。 19．（10分）设是有理数域上的一个不可约多项式，是在复数域上的根，是任一个有理系数多项式，使不能被整除。证明：存在有理系数多项式，使 。 20．（20分）易知，当是不全为零的有理数时，成立等式 （1）证明：当为不全为零的有理数时，有 （2）应用上述公式，将根式分母有理化； （3）请将（1）中的公式推广到一般的情形。 21．（10分）设，是两个特征值都是正数的阶实矩阵， 证明： 如果，则