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多元微积分(C)期末试卷2011 - 答案
一、选择题(每小题3分,共12分)
1、若级数和都发散,则下列级数中必发散的是( D )
(A) (B) (C) (D) .
2、若 在处收敛,则此级数在处( A )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定.
3、设级数收敛,则( A )
(A) 0 (B) 1 (C) 极限不存在 (D) 不能确定.
4、具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是( B ).
(A) (B)
(C) (D) .
二、填空题(每个空3分,共15分)
1、设均为某二阶线性微分方程的特解,则该微分方程的通解为。
2、差分方程为______6_____阶差分方程。
3、差分方程的通解为。
4、幂级数的收敛域为,和函数为。
三、判别下列级数的敛散性(每小题6分,共24分)
1、
解
而级数收敛,由比较审敛法,可知原级数收敛.
2、
解
,而等比级数收敛,
由比较审敛法,可知原级数收敛.
3、
解 1)由于所以是交错级数.
令有即时,是递减数列,
利用洛必达法则有 由莱布尼茨定理知该级数收敛.
2),因为调和级数发散,所以发散。
综上,题设级数为条件收敛。
4、
解 令考察级数是否绝对收敛,
采用比值审敛法:
所以原级数非绝对收敛.
由可知当充分大时,有故所以原级数发散.
四、求下列微分方程或差分方程的通解(每小题6分,共24分)
1、
解 设 则
代入原方程得,
整理得,
分离变量得,
两边积分得,
将回代,则得到题设方程的通解为
2、
解
此为一阶线性微分方程,其通解为:
3、
解 所给微分方程的特征方程为
其根是两个不相等的实根,因此所求通解为
4、
解 此方程对应的特征方程为
解之得共轭复根 ,即
故又故,于是原方程的通解为
五、将函数展开成的幂级数,并求级数的和。(10分)
解
当时,级数收敛;当时,级数收敛.且当时,函数连续,所以
当时,=.
六、求方程的通解,其中均为实数且。(15分)
解:方程对应的齐次方程为,因为其特征方程的根为,所以其通解为
.
下面求原方程的特解,
当时,特解具有形式,代入方程解得
所以原方程的通解:.
当时,特解具有形式,代入方程解得
所以原方程的通解:.
1
4
厦门大学《多元微积分(C)》课程试卷
____学院____系____年级____专业
主考教师: 试卷类型:(A卷)
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