07 2016年福建省高一数学竞赛试题参考案及评分标准.doc

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月8日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解答】 依题意，，。 由，知；，知或。 所以，或，即。 2．已知直线：与直线：（）相互垂直，垂足为，为坐标原点，则线段的长为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】 D 【解答】由知，，结合，得，。 ∴ 方程为，即；方程为：，即。 由，得。因此，，线段长为。 3．如图，在三棱锥中，，均为等边三角形，且。则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解答】如图，取中点，中点，连结，，，。 不妨设，则由条件知，，。 ∴ ，。 ∴ 。又，故是二面角的平面角。 在中，由，，， 得，。 ∴ 二面角的余弦值为。 4．若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解答】 ∵ 时，函数的值域为， ∴ 时，，即时，。 ∴ ，且时，恒成立。 ∴ ，的取值范围为。 5．如图，在四面体中，已知、、两两互相垂直，且。则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解答】 如图，设（在上，在上，在上）。 由，，，，知，，。 ∴ 在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。 同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。 又在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。 在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。 ∴ 四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为 。 6．是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A．2013 B．2015 C．2017 D．2019 【答案】 C 【解答】 ∵ 对任意，满足， ∴ 。 又。因此，，。 ∴ ，。 ∴ 。 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知实数，满足，记的最大值为，最小值为，则 。 【答案】 72 【解答】设，由知，。因此，点在以为圆心，3为半径的圆上。 又，设，则。 ∵ ，。 ∴ ，，。 注：本题也可以三角换元法。由，设，，代入后求最值。 8．过直线上一点作圆：的切线、，、为切点。若直线、关于直线对称，则线段的长为 。 【答案】 【解答】由切线、关于直线关于对称，以及切线、关于直线对称知，直线与直线与重合或垂直。 由点不在直线上知，与直线垂直。 设，则，。 ∴ ，。 9．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，为侧面的内心，则四棱锥的体积为 。 【答案】 【解答】如图，取中点，连结，由条件知在中，，。 ∴ 在线段上，且。 ∴ 。 ∴ 。 10．已知是偶函数，时，（符号表示不超过的最大整数），若关于的方程（）恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解答】作出函数与的草图（如图所示）。 易知直线恒过点，是方程的一个根。 从图像可知， 当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。 ∴ 的取值范围为。 11．方程（）的正整数解为 。（写出所有可能的情况） 【答案】 ， 【解答】依题意，。 ∴ ，，。 由，知，因此，。 ∴ ，，2，3。 若，则，，。将，代入题中方程，得，。 若，则，。由知，不存在。 若，则。所以，，又，因此，，5，6，7。经验证只有符合。将，代入题中方程，得，。 ∴ 符合条件的正整数解有或。 12．已知，，，则的最小值为 。 【答案】 6 【解答】 设，，，则，，。 且，，。 ∴ ，，。 ∴ 当且仅当，，，即，，，即，时等号成立。（如，，即，，时等号成立）。 ∴ 的最小值为6。 三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．已知，。 （1）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值。 【答案】（1）依题意，。 由在区间上为单调函数，知在区间上是单调函数，且。 ∴ 或。 ………… 4分 ∴ 或。 ∴ 实数的取值范围是。