全概率公式与贝叶斯公式的自我践应用及推广.doc

全概率公式与贝叶斯公式的自我实践应用及推广 摘 要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式,在实际中有广泛的应用.本文对“全概率公式及贝叶斯公式”进行仔细分析,用例子说明了它们的用法.另外在推广方面,给出了事件发生概率的矩阵表达式. 关键词：全概率公式; 贝叶斯公式; 应用; 市场 1.全概率与贝叶斯公式 1.1全概率公式 1.1.1 公式简述 全概率公式的内容简述如下： 设事件(或)为样本空间的一个分割或完全事件组，即满足： (1) (2)(或) 则对中任一事件，有 或　 （1.1.1） 分析： (1)从形式上看，公式的右边比左边复杂，实质上，定理中给出的条件任一事件往往很复杂，要直接求出的概率很难。若能把事件分解为许多简单的，互不相容的事件之和，且这些事件的概率可求，则求出就简单多了。应用全概率公式解实际问题关键是从已知条件中找到有限个或可列个事件构成一个分割，并且公式中一些事件的概率和条件概率能从题设中求得．它体现了各个击破，分而食之的解题策略，有众多应用．从下面几个例子中可以加深对它的了解． (2)全概率公式的最简单形式：假如，构成样本空间的一个分割，则 (3)条件为将本空间的一个分割，可改成互不相容，且，则（1.1.1）式仍然成立． 1.1.2 应用例证 (摸奖模型)我公司现在宁波大学举办抽奖活动，设在张彩票中有一张奖券,求第二人摸到奖券的概率是多少？ 解 设表示第人摸到奖券, 因为是否发生会影响到发生的概率,有 同时是两个概率大于的事件， 可由全概率公式得 同理可得 这说明，抽奖时，不论先后，中奖机会是均等的． 1.2贝叶斯公式 1.2.1公式简述 在乘法公式和全概率公式的基础上可推得一个很著名的公式，这就是贝叶斯公式。简述如下： 在全概率公式相同的条件下，有 故 再把全概率公式代入，即有 这个公式称为贝叶斯公式． 1.2.2要点 对贝叶斯公式，假定是导致试验结果的原因，称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性的大小，一般在试验前已确定．条件概率称为后验概率，它反映了试验后对各种原因发生的可能性的大小．贝叶斯公式主要用于由结果的发生来探求导致这一结果的各种原因发生地可能性大小．即专门用于计算后验概率的．通过的发生这个新信息，来对的概率作出的修正，下面的例子可以很好地说明这一点． 一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？ 我们假设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则P(A)=3/7，P(B)=2/(20×365)=2/7300，P(A|B)=0.9，由贝叶斯公式很容易得出： P(B|A)=0.9×(2/7300)×(7/3)=0.00058 另一个例子，现分别有甲，乙两个容器，在容器甲里分别有 7 个红球和 3 个白球，在容器乙里有 1 个红球和 9 个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，且是红球，问这个红球来自容器甲的概率是多少? 假设已经抽出红球为事件 B，从容器甲里抽出球为事件 A，则有：P(B) = 8 / 20，P(A) = 1 / 2，P(B | A) = 7 / 10，按照公式，则有：P(A|B)=(7 / 10) ×(1 / 2)×(20/8)=7/8。 2） 3.推广全概率公式和推广贝叶斯公式的矩阵表示 3.1.推广全概率公式的矩阵表示 3.1.1全概率公式的推广 在第一章对全概率公式的条件和结论作如下改动,就可以得到推广的全概率公式. 设等n个事件互不相容, 且,m个事件中的 (i = 1 ,2 , ?,m) 只能与事件之一同时发生,(i=1,2,…,m)则有 P ()= (i=1,2,…,m) 3.1.2 推广的全概率公式的矩阵表示 因为P ()= (i=1,2,…,m) 即 ......... 按矩阵的乘法,有 = 3.2 推广贝叶斯公式的矩阵表示 设事件互不相容,且,在事件中的(i = 1 ,2 , ?,m) 只能与事件之一同时发生,则在事件(i=1,2,…,m)发生的条件下,事件(j=1,2,…,n)发生的概率 将所有的排成如下矩阵,则由矩阵的运算,有 = = 即 = 容易证明 4 自我实践应用 我是毕业班的学生，自己开了一家广告传媒公司，主做媒体承包商，现在一商家在我公司所投放的媒体后可能产生三种问题，广告效果不好，价格高，服务不周到,这三种问题发生的概率我们预测分别为0. 7 、0. 4 、0. 1 ,若这三种问题导致和此商家下次不能够继续合作的概率依次分别为0.4 、0. 6 、0.9 ,现在已知此商家下次不会与我公司继续合作,用我所学过概率论知识去估计三种可能存在问题导致