毕达哥拉斯学派确信.PPT

三、数学与数学教育 罗素悖论是：以 表示“是其本身成员的 所有集合的集合”（所有异常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者属于 ，或者属于 ，两者必居其一，且 只居其一。然后问：集合 是否是它本身的 成员？（集合 是否是异常集合？） 一个集合或者是它本身的成员(元素),或者不是它本身的成员(元素)，两者必居其一。罗素把前者称为“异常集合”，把后者称为“正常集合”。 三、“怪”中求真 如果 是它本身的成员，则按 及 的定 义， 是 的成员，而不是 的成员，即 不 是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果 不是它本身的成员，则按 及 的定义， 是 的成员，而不是 的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。 三、数学与数学教育 罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。 三、“怪”中求真 三、数学与数学教育 当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路。这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。 三、“怪”中求真 三、数学与数学教育 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。 例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。 三、“怪”中求真 三、数学与数学教育 为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。 三、“怪”中求真 三、数学与数学教育 1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。 三、“怪”中求真 危机的消除 三、数学与数学教育 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。 三、“怪”中求真 危机的消除 谢谢聆听！ 目录 第一讲 数学理性精神的追求 ——真理 主讲教师：孙淑娥 目录 一、“宗教信仰”中的理性哲学 二、“责难”中追求严谨 三、“怪”中求真 三、数学与数学教育 第一次危机发生在公元前5世纪。毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。 毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。 一、“宗教信仰”中的理性哲学 第一次数学危机 三、数学与数学教育 （1）数学证明的起始 泰勒斯?毕达哥拉斯?欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 （2）数学抽象的提出 从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。 （3）毕达哥拉斯定理 勾股定理 一、“宗教信仰”中的理性哲学 毕达哥拉斯学派贡献 西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。 曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。 三、数学与数学教育 ①数，是世界的法