定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱和线性谐振子.pptVIP

1.5 定态薛定谔方程的解 一维无限深势阱与线性谐振子 本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用 波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足： 1.5.2 一维无限深势阱 薛定谔方程的解题步骤： * （2）波函数归一化条件； （1）定态薛定谔方程； （3）波函数的标准条件； 一维无限深势阱中运动的粒子与线性谐振子的能级和波函数。 最后介绍 “一维束缚定态的无简并定理” 1.5.1 波函数的标准条件 1. 单调性； 2. 有限性； 3. 连续性； 1. 单调性； 2. 有限性； 这是指 应该是 ，t 的单值函数。因为 是t时刻在 处发现粒子的概率密度，即要求 为单值函数，但不要求 是单值函数。 在有限的空间范围内发现粒子的概率有限 3. 连续性； 定态薛定谔方程包含 对坐标的二阶导数， 要求 及其对坐标的一阶导数连续。 设质量为 的粒子在势场中运动 用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤： 1. 写出分区的定态薛定谔方程； 2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E； 6. 解的物理意义。 1. 写出分区的定态薛定谔方程； 当势壁无限高是，不可能在势阱外发现能量有限的粒子，故阱外波函数为0 势阱内定态薛定谔方程为： 2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 令 由此得到0xa区间内的解： 3. 有波函数标准条件确定参数k； 由势阱外波函数： 当n0时，得到的解与n0的线性相关，舍去 当k=0; 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 取A为实数，则 （1.5.11） （1）束缚态与离散能级 6. 解的物理意义。 由 可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态 一般情况下束缚态的能谱为离散谱 （2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现 在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确定的坐标值和动量为零。 在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。 （3）激发态的能级 能级分别不均匀。 当量子n数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失，并过渡到经典情况。 （4）激发态的能级 （5）薛定谔方程的解的线性组合 在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： 线性叠加态： 粒子处于定态的概率为： 1.5.3 线性谐振子 经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能 量子力学中把在势 场 中运 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线 （1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。 讨论谐振子的意义： （2）复杂的振动可以分解为相互独立的谐振动动； （3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、粒子表象和电磁场量子化。 （1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。 线性谐振子的哈密顿量 线性谐振子的哈密哈密顿算符 故，定态薛定谔方程为 1.引入参数简化方程 引人 则，定态薛定谔方程可化为 (1.5.21) 代入 （2）用幂级数解法求解厄米方程的 代入方程，得 其系数递推公式 （3）波函数的有限性要求级数 中断为多项式。 由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两项系数之比在 时的极限为： 级数 相邻两项系数之比在 的极限也为： 当 很大时， 的行为与 相同 *