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2.2 真空中的静电场方程 Contents 一、电力线和电通量 把一个试验电荷qt放入电场中， 让它自由移动， 作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，称这个路线为力线（Line of Force）或通量线(Flux Line)。 若把电荷放在不同的位置， 就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小，于是说场线(Field Line)表示电通量(Electric Flux)。虽然电通线实际上不存在，但它们可以直观、形象地描绘电场的分布，如下图所示。 早期研究发现，电通量有如下特性 ： (1) 与媒质无关； (2)大小仅与发出电通量的电荷有关 ； (3)如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面 ； (4)单位面积上的电通量，即电通密度，反比于R2； 图2.2.1孤立正电荷的电通 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电通量. 非均匀电场电通量 闭合曲面的电场强度通量 • 对上式等号两端取散度； 二、 真空中的高斯定律 1. 静电场的散度———高斯定律的微分形式 其物理意义表示为 高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。 2. 高斯定律的积分形式 式中 n 是闭合面包围的点电荷总数。 点电荷是指自由移动的电荷 电荷的自身性质决定了其周围场的强弱和方向。而电场强度大小与媒质的介电常数有关，故可以用电场强度定义真空中电位移矢量D为： D=ε0 E 点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m2 由矢量分析得： 穿过某个曲面 S的电通量定义为 如果 D与d S方向相同，则穿过曲面 S的电通量最大。 3. 电位移矢量 点电荷 1. 静电场旋度 三、 静电场环路定律  可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。 表明 静电场是一个无旋场。 2. 静电场的环路定律  在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。  电场力作功与路径无关,静电场是保守场。 无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。 四、真空中的静电场方程 真空中的静电场方程 积分形式 微分形式 真空中的静电场是有散无旋场，散度源是电荷体密度。 电荷是静电场的通量源，正电荷是静电场的正源，而负电荷是负源，电力线从正电荷出发，终止于负电荷。静电场是保守场。 五、 高斯定律的应用 a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。  高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。 计算机巧  球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。  轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。  无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。 返回 例3 真空中有一个半径为a 的带电球， 电荷密度为 a r 解： 由于电荷分布具有球对称性，因此其电场也具有球对称性， 在半径为r的同心球面上，电场的大小相等，方向与球面的法线方向一致， ，求带电球内外的电场。 a 电场随半径的变化曲线 例4.　真空中，电荷均匀分布在一无限长，内半径为a，厚度为b的圆筒中，电荷密度为常数 ，求电场。 a b 解： 电荷分布沿轴向均匀无限长，且具有轴对称性，因此其电场也具有轴对称性，方向沿圆柱的径向。 作半径为ρ ，长度为L的圆柱面，在圆柱面上，电场的大小相等，方向和圆柱面法线相同，而在此圆柱的两个端面上，电场方向与端面的法线垂直，因此，穿过由圆柱面和两个端面组成的封闭面S的通量为 q=0 电荷为面分布 如果圆筒的厚度b很薄，忽略厚度，将电荷看成为面分布，电荷面密度为 q=0 表面电荷与界面上电场的关系 电荷为体分布时的电场分布 电荷为面分布时的电场分布