磁场的“高斯定理”磁矢势9.pptVIP

* * 磁场的“高斯定理” 磁矢势 一、磁通量 为了研究磁场的性质，仿照电场的情况，引入磁通量的概念。通过磁场中面元dS的磁感应通量（即磁通量）定义为 它的直观意义是： 穿过面元dS的磁感应线的条数。 对于任意曲面S，通过它的磁通量为 正如电通量代表电力线的数目一样，磁通量也可理解为磁感应线的数目，这样，磁感应强度B就是通过单位垂直面积的磁感应线数目，即磁感应线的数密度。所以磁感应线密集的地方磁感应强度大，在磁感应线稀疏的地方磁感应强度小。 对于闭合曲面，一般规定外法线为正，所以穿出曲面的磁通量为正，进入曲面的磁通量为负。 国际单位制中磁通量的单位为特斯拉·米2（T·m2)，又称韦伯（Wb）。即1Wb=1T·m2 二、高斯定理 由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以对于任何一个闭合曲面，若有多少条磁力线进入闭合曲面，就必然有多少条磁力线穿出闭合曲面，因此通过任意闭合曲面的磁通量Φm恒为零，这就是稳恒磁场高斯定理，其表达式为 磁场高斯定理是表征磁场性质的一条重要定理，它说明稳恒磁场是无源场，与静电场的性质不同。 高斯定理的证明 证明： 单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一系列同心圆，圆周上B 处处相等； 磁感应管：由一束磁感应线围成的管状区域。 单个电流元Idl 的磁感应线所围成的磁感应管 为横截面相等的环状磁感应管。 考察任一磁感应管(正截面为dS )，取任意闭合曲面S，磁感应管穿入S一次，穿出一次。 结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零 推广到任意载流回路的磁场 一个电流元产生的磁场可看成由许多磁感应管组成 有的穿入又穿出，有上述结论 有的没穿过S，磁通量为零 任意载流回路——由许多电流元串联而成，由叠加原理得 结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等于零。 补充：矢量场的通量和散度 高斯定理 矢量场 沿曲面 的积分 称为通量，其中 的方向为面元的法线方向。 矢量场 在P点的散度 或 定义为 式中 是闭合曲面 包围的体积。矢量场的散度是标量场。 矢量场的高斯定理：矢量场 通过任意闭合曲面 的通量，等于该矢量的散度在 所包围体积 内的积分，即 补充：矢量场的环量和旋度 斯托克斯定理 矢量场 沿曲面 的积分 称为环量，其中 的方向为线元的切线方向，顺着回路的走向。 A v 矢量场 在P点的旋度 或 在 上的投影定义为 式中 是闭合回路 包围的面积。 是 的右旋单位法线矢量。矢量场的旋度也是矢量场。 矢量场的斯托克斯定理：矢量场 在任意闭合回路 的环量，等于该矢量的旋度在以 为边界的曲面 上的积分，即 称为劈形算符或纳布拉算符， 是一个矢量微分算符。 称为拉普拉斯算符。 算符及相关公式 在直角坐标系中的表达式 磁高斯定理的微分形式 利用数学的高斯定理 说明恒磁场的散度为零——无源场 磁矢势 然而磁场的主要特征：无源（无散）——磁高斯定理 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势 无源场 有旋场 非保守场一般不引入标势 磁高斯定理表明：对任意闭合面 磁通量仅由曲面S1和S2 的共同边界线L所决定 可能找到一个矢量A，它沿L作线积分等于通过S的通量 数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的分布也构成矢量场，简称矢势 根据矢量分析 对任意矢量A有 矢势的特点 其实标势也不唯一，零点可选 如：对于任意标量场?的梯度??，有 描述同一个磁感应强度B 类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范: ??A=0 找电流产生的磁场中磁矢势的表达式 电流元的磁矢势 p112式（2.55) 任意闭合回路的磁矢势 式（2.56) 例题9 例题10 例题11 两种办法 电动力学的做法 普通物理的方法 电流元的磁矢势 设磁矢势a与电流元平行（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范??A=0 的结果）——a只有z分量 以电流元为轴,取柱坐标（?、?、z ) 取闭合环路L 只有这一段积分有贡献 ？ 取无穷远处的磁矢势为0 *