直线与双曲线 点差法与中点弦.doc

范世源老师强调 演算练细心 听懂易 练通难 作业练书写 tel: PAGE   PAGE ４ tel: 直线与双曲线只有一个交点的类型 双曲线中点弦存在性的探讨 点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析 一、切线类型： 双曲线内、原点：0条； 2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条； 3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线 二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点， 可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.细分如下： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④??即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域 = 6 \* GB3 ⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行 类比： 双曲线中点弦存在性的探讨 规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。 求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法： （1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程． （2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解． 无论使用点差法还是联立法，都要运用 来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下： 利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）． 当 在区域Ⅰ内时，有；当 在区域Ⅱ内时，有 ． 当 在区域Ⅲ内时，有 ．利用上述结论，可以证明： 当 在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的． 证明过程如下：设双曲线 的弦 两端点为 ， ，中点为 ，则 ， ．运用点差法得出 的斜率 ． ① 令直线 的方程为 即 ．?? ② 把②代入 ，整理得 ． ． ③ 把①代入③，整理得 ． 若 在Ⅱ、Ⅲ区域内，则 或 ，这时 ，中点弦存在； 若 在区域Ⅰ内，则 ，这时 ，中点弦不存在． 例 过点 作双曲线 的弦 ，使 点为 的中点，则 的方程为（ D ） （A） （B） （C） （D）不存在 分析：将 及 联立得 ．此时， ，则选（D）． 若运用上述区域法，只要判断 在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）． 点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析