离散6商代数.ppt

. -吴扬扬制- * 主要内容： 商代数性质: 同态三角关系 * §7.4 商代数与积代数 1. 商代数(1) 定义：设R为代数系统A=S,*1,…,*n上的同余关系， 称 A/R=S/R, *1, …, *n为A关于R的商代数。 其中：*i([a1]R,…,[ani]R)=[*i(a1,…,ani)]R 例1: ?m是A= I, +, ? 上的同余关系， A/?m=I/?m,?,?,其中：I/?m={[0]?m,…,[m-1]?m}, ?:?[i]?m,[j]?m?I/?m, [i]?m?[j]?m=[i+j]?m, ?:?[i]?m,[j]?m?I/?m, [i]?m?[j]?m=[i?j]?m, 若m=2,则 A/?2=I/?2,?,? ,其中:I/?2={[0]?2,[1]?2}, [0]?2={…,-4,-2,0,2,4,…}, [1]?2={…,-3,-1,1,3,…}, [1]?2?[1]?2=[1+1]?2=[0]?2, [1]?2?[0]?2=[1?0]?2=[0]?2 ? [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0] ? [0] [1] [0] [0] 0] [1] [0] [1] 分析例1 性质1 ?证明 等价关系行吗? . -吴扬扬制- * §7.4 商代数与积代数 1. 商代数(2) 同余关系是代数系统的定义域中的等价关系，并且 在代数系统的运算的作用下，能够保持关系。 ∵ 若[ak]R=[bk]R,k=1,2,…ni, 则akRbk,k=1,2,…ni, 若R是同余关系,则(*i(a1,a2,…,ani))R(*i(b1,b2,…,bni)) ∴ [*i(a1,a2,…,ani)]R=[*i(b1,b2,…,bni)]R 即:如果用与ak等价的任何其它元素bk代换ak(1≤k≤ni), 则所求的结果位于同一等价类之中。 分析例1,取[1]?2和[0]?2的其他元素作为代表元素，?和?运算不变。 考虑I上的等价关系(非A的同余关系)R：?i,j?I, iRj iff |i|=|j| 同余关系才能保证运算*i与同余类(等价类)的代表元素无关(良定的）. . -吴扬扬制- * 性质: 定理7.4.1: 设R为代数系统A=S,*1, …,*n上的同余关系， 定义函数f:S→S/R,?a?S,f(a)=[a]R, 则 f是从A到商代数A/R的满同态映射，称为自然同态。 证明： §7.4 商代数与积代数 1. 商代数(3) 设A/R=S/R,*1,…,*n为A关于R的商代数。 ∵ ?i?{1,…,n}, 设*i的阶为ni, ?a1,…,ani?S, f(*i(a1,…，ani))=[*i(a1,…,ani)]R = *i([a1]R,…,[ani]R) = *i(f(a1),…,f(ani)) 又∵ ?[a]R?S/R, 有a?S,使f(a)=[a]R ∴ f是A到A/R的满同态映射。 （商代数运算定义） ∴ f是从A到商代数A/R同态映射. . -吴扬扬制- * 定理7.4.2: 设h为A=S,*1,…,*n到A’=S’, *’1,…, *’n的同态映射， R为A上由h诱导的同余关系(R定义为:?x,y?S,xRy iff h(x)=h(y))， f是从A到A/R的自然同态(?a?S, f(a)=[a]R), 则 存在从A/R到h(A)的同构映射g,使gof=h。 * 同态三角关系 §7.4 商代数与积代数 1. 商代数(4) S A h(S) S’ A’ S/R A/R h R f g 推论：设h为A=S,*1,…,*n到 A’=S’, *’1, *’n的满同态映射， R为A上由h诱导的同余关系， 则 A/R ? A’。 * 分析I,+,?到Nm,+m,?m同态映射 h:I→Nm h(i)=i mod m R=?,f=?,g=? g([x]R)=h(x) . -吴扬扬制- * 定理7.4.1 设h为A=S,*1,…,*n到A’=S’,*’1,…,*’n同态映射，R为A 上由h诱导的同余关系(?x,y?S,xRy iff h(x