第2章代数模型第三节不等式三席位分配1.doc

第二章、初等代数模型 第三节 不等式模型 不等关系和相等关系是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。在现实生活中存在着大量的不等关系，无论是投资决策、生产规划、追求利润到价格大战，还是人口控制、环境保护、交通运输等问题的求解过程，都可归结为不等关系的论证和求解问题。 利用不等式的知识解决实际问题，是近年来中考、高考的重点内容之一，它区别于用函数方法解决实际问题的主要特征是——可以解决两个或两个以上变量之间的关系，而且这些变量之间可能不存在函数关系，这为探索、寻找变量之间的关系开辟了新的思想方法。 不等式的性质、解法以及几个重要的基本不等式，如平均值不等式、柯西不等式和排序不等式等，这些是不等式知识中的基本模型。实际问题中的一些变量如何对应转化到这些模型中去，是解决实际问题的关键。 三、代表席位公平分配问题 公平整分方法的存在性问题 选举是政治学研究的中心问题之一。其中包括民意测验、选票分配等重要问题。选票分配是否合理是选民最关心的热点问题之一。这一问题早就引起西方政治家与科学家的关注，并采用数学方法进行了大量深入的研究。这里以学生会选举为例，先对这项研究作一初步介绍。 假定某大学的学生会由n名委员组成，再设该大学有m个系，各系的学生数是pi,(i=1,2,…,m).全校的学生数是p=p1+ p2+…+ pm。问各系能获得几个委员名额？ 一个简单而公平的分配委员名额的办法是按人数比例分配。记qi=pin/p,称它为分配的份额。自然有q1+q2+ …+ qm=n。如果qi(i=1,2,…,m)都是整数，分配是绝对公平的。但一般情况下，qi(i=1,2,…,m)不都是整数，而名额分配又必须是整数，怎么办？ 一个自然想到的办法是“四舍五入法”。四舍五入的结果可能名额正好分配，也可能会出现名额多余，或名额不够的情况。这种例子是很多的，特别是m较大的情况。 正因为四舍五入法有这一缺点，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿于1790年提出了一种解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。美国国会的议员是按州分配的，汉密尔顿方法（又称“惯例法”）的具体操作如下： 1）取各州份额qi的整数部分[qi]，先让第i州拥有[qi]个议员。 2）然后考虑各个qi的小数部分qi-[qi]，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。 下表4-5是按照汉密尔顿方法进行分配的： 表4-5：按照惯例法进行分配 系别 学生数 所占比例（％） 理论席位 惯例席位 甲 103 51．5 10．3 10 乙 63 31．5 6．3 6 丙 34 17 3．4 4 总和 200 100 20 20 汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。例如在剩下的最后一个名额中，出现余下的小数部分最大多于一个的情况。当然在选民众多的情况下，出现小数部分相等的情况是十分罕见的，换言之，概率很小。因此，汉密尔顿方法因其直接，在美国国会中曾被沿用很长一段历史时期，直到碰到一个称之为亚拉巴马悖论为止，它一直被认为是最好的。 从1880年起，美国国会就汉密尔顿方法的公正合理展开了争论。原因是1880年美国人口普查后，亚拉巴马州发现汉密尔顿方法触犯了该州的利益。按照常规，假如各州的人口比例不变，议员的名额总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。 这里以校学生会为例。人数分别为103,63和34的甲、乙、丙三个系的一个20人的代表会议，上一届按照人数比例并参照汉密尔顿方法决定三单位按10,6和4分配代表席位。但下一届会议为了避免表决提案时出现10:10的僵持局面，他们按照上述方法算出的结果是11,7和3的分配方案（有关计算如表所示）。 表4-6 按照比例并参照惯例法的席位分配 系别 人数 人数比例（%） 20席的分配 21席的分配 理论席位 惯例法席位 理论席位 惯例法席位 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 增加一席的分配结果显然对丙系不公平，因为他们反而比原来减少了一席，这一事实说明，汉密尔顿方法并非永远合理。亚拉巴马州当年就面临这种情况，所以通常把汉密尔顿方法的产生的这一矛盾叫做亚拉巴马悖论。这个悖论是出乎意料的，它是在实践过程中出现的，不是逻辑的产物。 因此，必须进一步改进汉密尔顿方法，使之更加合理，新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论。本节讨论的就是这种新的分配方法。 [建立数量指标]： 讨论A、B两方公平分配席位的情况。设两方人数分