第11章向量代数空间解析几何MATLAB求解1.pptVIP

第11章 向量代数与空间解析几何MATLAB求解 编者 Outline 11.1 向量及其线性运算 11.2 数量积、向量积与混合积 11.3 曲面及其方程 11.4 空间曲线及其方程 11.5 平面及其方程 11.6 空间直线及其方程 11.1 向量及其线性运算 1.向量的概念 客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。 绘制向量的关键是其表示方向的箭头 2.向量的模、方向角 向量的模与两点间的距离： 点A和B间的距离 就是向量 的模，因此点A和B间的距离 方向角与方向余弦： 非零向量 与三条坐标轴的夹角 称为向量 的方向角。 11.2 数量积、向量积与混合积 1.两向量的数量积 我们有时要对两个向量 和 作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于 及它们的夹角的余弦的乘积。我们把该乘积叫做向量 和 的数量积，记作 2.两向量的向量积 设向量 由两个向量 和 按下列方式定出： 的模 : ，其中 为 a 和 b 的夹角； c 的方向垂直于 a 和 b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定，那么，向量 c 叫做向量 a 和 b 的向量积，记作 。 3.向量的混合积 设已知三个向量 a、b 和 c ，如果先作两向量 a、b的向量积 ，把所得到的向量与第三个向量 c 再做数量积，这样得到的数量叫做三向量a、b 和 c 的混合积，记作 11.3 曲面及其方程 1.曲面方程的概念 如果曲面S 与三元方程 有下述关系：曲面S上任一点的坐标都满足上述方程；不再曲面S上的点的坐标都不满足上述方程，那么，上述方程就叫做曲面 S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 2.旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。 图 旋转曲面 在曲线 的方程 中将 改成 ，便得曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程。 同理，曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 3.柱面 一般的，直线 L 沿定曲线 C 平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。如图1所示。 4.二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。二次曲面有九种。如图2所示。 图1 MATLAB绘制抛物柱面 图2 二次曲面 11.4 空间曲线及其方程 1.空间曲线的一般方程 空间曲线可以看做两个曲面的交线，设 和 ，是两个曲面的方程，它们的交线为C 。因为曲线 C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组 反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足上述方程组。因此，曲线C 可以用上述方程组来表示，而该方程组即成为空间曲线 C的一般方程。 2.空间曲线的参数方程 空间曲线C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C 上动