不等式期末复习的讲义.docVIP

京翰教育中心 PAGE 不等式期末复习讲义 知识点 1．不等式性质 比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法 不等式的基本性质 ①对称性：a bb a ②传递性: a b, b ca c ③可加性: a b a + c b + c ④可积性: a b, c 0ac bc； a b, c 0ac bc； ⑤加法法则: a b, c d a + c b + d ⑥乘法法则：a b 0, c d 0 ac bd ⑦乘方法则：a b 0, an bn (n∈N) ⑧开方法则：a b 0, 2．算术平均数与几何平均数定理： （1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号） （2）如果a、b∈R＋,那么（当且仅当a=b时等号） 推广： 如果为实数，则 重要结论 1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； （2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。 3．证明不等式的常用方法： 　比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。 综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。 分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。 4．不等式的解法 不等式的有关概念 　　同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。 同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。 提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形 　　　去分母、去括号、移项、合并同类项 不等式ax b的解法 　　①当a0时不等式的解集是{x|xb/a}； ②当a0时不等式的解集是{x|xb/a}； ③当a=0时,b0,其解集是R；b0, 其解集是ф。 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系 PAGE PAGE 17 （4）绝对值不等式 a≤ a≤0时结果如何？ 　 o o 　　　　　－a 　 0 　 a ｜x｜＞a（a＞0）的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝，几何表示为： o o －a 0 a 小结：解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路： （1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号； （2）公式法：| f(x) | a f(x) a或f(x) －a；| f(x) | a －af(x) a； （3）平方法：| f(x) | a(a0) f2(x) a2；| f(x) | a(a0) f2(x) a2；（4）几何意义。 (5)分式不等式的解法 (6)一元高次不等式的解法　 数轴标根法 把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。 （7）含有绝对值的不等式 定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b| |a| － |b|≤|a+b| 中当b=0或|a||b|且ab0等号成立 |a+b|≤|a| + |b| 中当且仅当ab≥0等号成立 推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3| 推广：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an| 推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b| 二、常见题型专题总结： 特殊值专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立 特殊值 1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是（　C ） A、若ab，则|a||b| B、若ab，则1/a1/b C、若ab，则a3b3　　　　　　　D、若ab，则a/b1 2、已知a0.－1b0,则下列不等式成立的是（ D ） A、aabab2 B、ab2aba C、abaab2 D、abab2a 3、当0ab1时，下列不等式成立的是（ D　） A、(1―a)1/b (1