二项式解题中常用的构造的策略.docVIP

PAGE PAGE 11 二项式解题中常用的构造策略 在数学解题中，分析题中的条件和结论，构造一个与原问题相关的辅助模型，通过对辅助模型的研究达到解题目的，这种转化方法称之为构造法。构造法是数学解题中最富有活力的数学转化方法之一，如能恰当地运用，不仅能把问题变繁杂为简明、变隐晦为直观、变离散为集中、变抽象为具体，达到难题巧解的目的，而且还能大大丰富学生的想象能力，培养学生解题的整体意识和创造性思维能力。 1、联想问题背景 有些数学问题，孤立地运用题设条件难以求解时，不妨把问题于特定的背景下，构造问题的原型，寻求解题的入口。 例1设n为正整数，证明：≤≤ 分析：变换组合数，图通过演算得出结论，繁难。联想问题的背景，为二项式系数，于是显现出解题入口，构造二项式来证明。为(x+y)2n展开式中的最大的二项式系数，令x=y=1，则有(1+1)2n=，在此大背景下，问题立即获证。 2、构建恒等式 有的问题，不能从已知条件中作局部调整就可导出结论，必须从要求的结论出发，作整体设计，构造某一恒等式，经推理、运算、多次转化，才能凑配出解题所需的条件。 例2 求证：()2+()2+…+()2= 分析：构造恒等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n。 左边展开式中xn的系数是：++…+=()2+()2+…+()2 右边展开式中xn的系数是：=，即命题成立。 （也可构造集合，有个n白球和n个黑球，从这2n个球中取出n个球的方法有种；另一方面，又可以这样分类：这n个球的取法可分为取个i白球和n-i个黑球，取法为种(i=0,1,2,…n)，由加法得。） 3、构建集合模型 集合中数学的基本概念之一。它为数学提供了一种广泛的理论基础，利用集合论方法，我们可以看出表面上彼此很不相近的数学问题的共性。因此，很多问题可建立“集合模型”解决。 例3求证： 分析；是集合A={a1，a2，a3，…，an}的子集的个数，而子集无非是由元素组成，确定A的子集的个数可以分为如下几个步骤： 第一步：确定子集中是否包含a1，有2种；第二步：确定子集中是否包含a2，有2种；……第n步：确定子集中是否包含an，有2种；根据乘法原理知，A的子集个数共有2n，故原等式成立。 4、构建排列组合模型 排列、组合在中学数学中占有重要位置，其分析问题，解决问题的方法独特，利用这种方法，建立使用“排列组合模型”，可使一些问题得到较为新颖的解法。 例4求证：(1+m)n=1+m+m2+… +mn，m，n都是自然数。 分析：本题可建立这样的模型：n名旅客到(1+m)家旅馆投宿，问有多少种不同的投宿方法：这个问题可以这样解决：一方面逐人考虑，安排n名旅客分n步骤，每名旅客都有(1+m)种投宿方法，由乘法原理共有(1+m)n方法；另一方面按到某家旅馆可能的人数0，1，2，…，n。考虑安排分为（n+1）类，从n名旅客中任选r名到某家旅馆投宿有种选法，剩下的（n-r）名到另外的m家旅馆投宿有mn-r种方法，根据乘法原理到某家旅馆投宿为r的分配方法有mn-r= mn-r（r=0，1，2，…，n）种；再由加法原理共有1+m+m2+… +mn种分配方法。两种考虑方法，结果一样，所以等式成立。 5、构建复数模型法 复数模型法，就是将所求命题的元素用复数来表示，然后用复数的性质求解命题。 例5若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，求a0+a3+a6+…+a1998的值。 分析： 令x=1可得31000=a0+a1+a2+a3+…+a2000；令x=ω可得0=a0+a1ω+a2ω2+a3ω3+…+a2000ω2000；（其中ω=-+，则ω3=1且ω2+ω+1=0） 令x=ω2可得 0=a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+…+a2000ω4000。以上三式相加可得31000= 3（a0+a3+a6+…+a1998） 所以 a0+a3+a6+…+a1998=3999。 6、构建组合对偶式 配偶是解题的一种重要策略，它能使原来较难的问题得以巧妙的解决，有着变繁为简、化难为易之功效。在教学中，有意识的注意这方面的训练，使学生较好的掌握这一解题策略。对于培养学生的思维品质、解题能力的提高无疑是的益的。 例6设n=1990，求(1-3)的值。 分析：将所求式子变形为 A=(1-)。 显然它是(-1+i)n的展开式的部分之和，即复数的实部。不妨取展开式的其余的项的和为A的对偶式 B=i(-)。 则A+B=(-1+i)n=ωn=ω=ω=-+，所以A=-。 7、构建基本不等式 基本不等式是证不等式的常用手段，有的二项式问题可转化基本不等式来求。 例7 若n∈N，且n≠1，求证：! 分析：左边的“n次幂”与右边的“n个数的积”是一个和