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人教版高数必修二第6讲空间中的垂直的关系
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空间中的垂直关系
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理解空间中三种垂直关系的定义;
掌握空间中三种垂直关系判定及性质;
用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.
一、直线与平面垂直
1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互垂直.
2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O,并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,记作AB⊥α,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任一点到垂足间的线段,叫做这点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这点到平面的距离
3.直线和平面垂直的判定
4.(1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
符号语言:l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a?α,b?α?l⊥α,
如图:
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面.
符号语言:a∥b,a⊥α ?b⊥α,
如图:
5.直线与平面垂直的性质
(1)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
符号语言:a⊥α,b⊥α ?a∥b,
如图:
(2)一条直线垂直于一个平面,它就和平面内的任意一条直线垂直.
符号语言:a⊥α,b?α?a⊥b,
如图:
6.设P是三角形ABC所在平面α外一点,O是P在α内的射影
(1)若PA=PB=PC,则O为△ABC的外心.特别地当∠C=90°时,O为斜边AB中点.
(2)若PA、PB、PC两两垂直,则O为△ABC的垂心.
(3)若P到△ABC三边距离相等,则O为△ABC的内心.
7.(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
直线和平面平行
1.平面与平面垂直的定义:
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.平面α、β互相垂直,记作α⊥β.
2.两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
符号表示:a⊥α,a?β ?α⊥β,
如图:
3.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,垂直于另一个平面.
符号表示:α⊥β,α∩β=CD,BA?α,BA⊥CD,B为垂足?BA⊥β,
如图:
推论:如果两个平面垂直,那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
类型一 线面垂直
例1:如图,直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
解析:由于D是AC中点,SA=SC,∴SD是△SAC的高,连接BD,可证△SDB≌△SDA.由AB=BC,则Rt△ABC是等腰直角三角形,则BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理即可得证.
答案:(1)∵SA=SC,D为AC的中点,
∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中,连接BD,
则AD=DC=BD,又∵SB=SA,SD=SD,
∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,
∴SD⊥面ABC.
(2)∵BA=BC,D为AC中点,∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥面ABC,∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,
∴BD⊥平面SAC.
练习1:((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,
底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点,
PA=AD.求证:EF⊥平面PCD.
答案:如图,取PD的中点H,连接AH、HF.
∴FHeq \f(1,2)CD,
∴FHAE,∴四边形AEFH是平行四边形,∴AH∥EF.
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥AD.
又∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥CD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又∵AH?平面PAD,∴CD⊥AH.
又∵PA=AD,∴AH⊥PD,PD∩CD=D,
∴AH⊥平面PCD,
又∵AH∥EF,∴EF⊥平面PCD.
练习2:如右图,在正方体中,为的中点,为的中心,
求证:平面
答案:连结,
由正方体的性质可知,,且
∴面 又
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