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总汇 1 — 数学 PAGE 总汇1. PAGE 24 1 数 学 从整个自然科学体系考虑，数学本质上隶属于语言系统的范畴。或者说，作为科学陈述的一个工具，数学本身并不能给出超越前提以外的任何东西，数学的全部意义和内涵仅仅在于如何保证相关论述与推理的严格逻辑一致性。因此，在描述自存物质世界的自然科学研究中，一旦被描述的物质对象得以理想化的界定，那么，在原则上，相关的陈述系统仅仅是最初理想化认定的逻辑必然。也正因为此，为了保证整个科学陈述系统的严格逻辑相容，或者为了避免出现因为任何细微矛盾导致的自否定荒唐，数学在自然科学研究中始终扮演了一个极其重要的角色。可以做出这样一种论断，对于人们熟知的所有科学难题，几乎没有一个不伴生着相关数学推理失当的问题。 当然，作为整个自然科学体系的一个重要基础，数学自身同样真实地面临着如何严格遵循逻辑，需要严肃解决数学体系自身存在许多众所周知的逻辑不自洽问题。而且，数学体系自身的矛盾，必然与自然科学体系其它领域中暂时存在的认识困惑或者逻辑不自洽问题形成一种影响更为深刻和广泛的交叉作用。 纵观19世纪末到20世纪初的西方科学世界，不仅需要面对物理学一系列众所周知认识困惑的挑战，而且还因为涉及数学基础的许多逻辑悖论的发现，使他们意识到作为科学语言的数学工具同样面临深刻的危机。毫无疑问，所有的这一切，最终必然归结为包括“哲学、数学和物理学”等学科在内的整个人类认识体系是否需要服从“理性或逻辑”这个最为根本和核心的问题。 1.1 数学基础三大逻辑悖论及相关基础命题重释 众所周知，19世纪末到20世纪初叶，出现了至今尚无力解答的数学基础三大逻辑悖论问题。并且，最终导致了一种“搁置矛盾”的公理化方法，本质上将数学引入了歧途。 事实上，如果说当代科学主流社会面对一系列的逻辑不相容问题长时间无所作为，以至于公开放弃数学严谨性的时候，这样一种思潮同样深刻影响着数学自身。因此，对于无视数学基础一系列众所周知逻辑悖论的存在，却在一个没有可信性基础之上进行无穷推理的方法，正是目前科学世界公然放弃逻辑，推崇无理性可言的“第一性原理”这样一种普遍态度的反映。当然，以默认逻辑悖论为思考前提的推理，同样没有任何可信性而言，而且，在不当立论前提之上进行推理本身就是对数学精神的一种背叛。 1.1.1 数学基础的三大逻辑悖论与“存在性”基本原则 数学基础的三大逻辑悖论通常指“理发师悖论”、“Cantor悖论”和“Russell悖论”。考虑到“理发师悖论”本质上只属于一般意义上的“病态”语句，此处仅列出与逻辑更为直接关联后两个悖论及其相关辨析，并且，提出对于所有形式表述具有一般意义，并且与理论物理中的“物质第一性”原则保持一致的“存在性”基本原则。 命 题 经典陈述或结论 修正结果或解释 一 般 分 析 Cantor 悖论 对于元s i 所构造的集合M，以及相应构造的幂集合P，即 不难推得 故而出现悖论 提出形式系统必须普遍遵循的“存在性原则” 可以做出证明：出现于数学基础上的所有逻辑悖论，都同样违背了这两个基本原则。 与上述原则保持一致，“拥有”和“从属”属于两种完全不同逻辑关系，必须加以严格区分，即 1. 形式表述的“性质”和拥有性质的“存在主体”在逻辑上并不等价。事实上，不仅仅性质f，而且定义性质的所有形式量x, y, z都仅仅逻辑地从属于它的逻辑主体：某一个特定的理想化物质对象集合； 2. 与Hilbert所说“桌子、椅子、啤酒瓶”一种纯粹主观随意的公理化理念完全相反，在定义形式量以及借助于形式量所表述的某一特定关系以前，首先需要对“理想化存在”本身做出前提性的认定。没有形式系统逻辑主体的前提存在，就没有整个形式系统； 3. 集合论“概括原则”未能区分拥有和从属两种不同逻辑关联，将它们与全同逻辑混淆了； 4. 无论域限制的性质以及无论域限制的集合都不存在。尽管Cantor试图提出“相容性”条件加以约束，但是仍不能根本改变构造无论域限制集合论的错误导向。 Russell 悖论 对于任何两个给定集合x, y 由集合论概括原则 再次出现悖论。 1.1.2 Hilbert形式主义公理化思想隐含的逻辑悖论 如果说，Brouwer认识到数学基础中逻辑悖论的真实存在，不得已提出了一种表面上似乎是以“拒绝逻辑”为基本特征的“直觉主义”理念。但是，恰恰由于对矛盾存在采取了一种诚实的态度，数学直觉主义者所提的“构造对象（Constructive Object）”的“前提”恰恰吻合于逻辑，即对“拥有者”和“从属特征”在形式系统中的不同地位做出严格区分，从而与上述“存在性”原则保持一致。只不过Brouwer没有形成一种理性意识，认识到任何形式表述的对象仅仅属于某一个特定的“理想化”物质对象罢了。 恰恰与Brouwer对于矛盾