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全程方略2015届高考数学专项精析精炼2014年考点37
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考点37 立体几何中的向量方法
一、填空题
1. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解题提示】建立坐标系,利用空间向量法求解.
【解析】选C.如图,分别以C1B1,C1A1,C1C为x,y,z轴,建立坐标系.令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).所以=(-1,1,-2), =(0,-1,-2).
cosθ===.故选C.
二、解答题
2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T18)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC.
(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
【解题提示】(1)取AC的中点,构造中位线,利用线线平行证明线面平行.
(2)建立空间直角坐标系,设出CD,利用向量法求得CD的长,然后用体积公式求得三棱锥E-ACD的体积.
【解析】(1)设AC的中点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB,且EG在平面AEC上,所以PB∥平面AEC.
(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则
A(0,0,0),D(,0,0),E,C(,m,0).
所以=(,0,0), =,
=.
设平面ADE的法向量为=(x1,y1,z1),则=0, =0,
解得一个=(0,1,0).
同理设平面ACE的法向量为=(x2,y2,z2),则=0, =0,
解得一个=(m,- ,-m).
因为cos=|cos|===,解得m=.
设F为AD的中点,则PA∥EF,且PA==,EF⊥面ACD,
即为三棱锥E-ACD的高.所以VE-ACD=·S△ACD·EF=××××=.
所以,三棱锥E-ACD的体积为.
3. (2014·四川高考理科·T18)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设,分别为线段,的中点,为线段上的点,且.
(1)证明:为线段的中点;
(2)求二面角的余弦值.
【解题提示】本题主要考查简单空间图形的三视图、空间线面垂直的判断与性质、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.
【解析】(1)由三棱锥及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥中:
平面平面,
设为的中点,连接,
于是, 所以平面
因为,分别为线段,的中点,所以,又,故
假设不是线段的中点,则直线与直线是平面内相交直线
从而平面,这与矛盾
所以为线段的中点
(2)解法一:如图,作于,连接,
由(Ⅰ)知,∥,所以.
因为,所以为二面角的一个平面角.
由(Ⅰ)知,,为边长为2的正三角形,
所以==,由俯视图知,平面,
因为平面,所以,
因此在等腰直角中,,
作于,在中,,所以,
因为在平面内,,,所以∥,
又因为为的中点,所以为的中点,因此.同理可得,.所以在等腰中,
.故二面角的余弦值是.
解法二:以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则,,,
于是,,
设平面和平面的法向量分别为和
由,设,则
由,设,则
所以二面角的余弦值.
4. (2014·天津高考理科·T17)(本小题满分13分)
如图,在四中,底面,,,,点为棱的中点.
()证明 ;
()求与平面所成角的正弦值;
()为棱上一点,满足,
求二面角的余弦值.
【解析】方法一:依题意,如图以点为原点建立空间直角坐标系,
可得,,,.由为棱的中点,得.
(),,故. 所以,.
(),.
设为平面的法向量,则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.
于是有.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(),,,.
由点在棱上,设,.
故.
由,得,
因此,,解得.即.
设为平面的法向量,则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量,则
.
易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.
方法二:()中点,连接,.
由于分别为的中点, 故,且,
又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,
所以.
因为底面,故,
而,从而平面,
因为平面,于是,
又,所以.
连接,由()平面,得,
而,故.
又因为,为的中点,故,
可得,所以平面,
故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线,
而,可得为锐角,
故为直线与平面所成的角.
依题意,有,而为中点,
可得,进而.
故在直角三
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