关于复半单线性李代数的loop代数的幂零元的一些的的结果.docVIP

PAGE PAGE 11 关于复半单线性李代数的loop代数的幂零元的一些结果 占 国 兴 （指 导 教 师：舒 斌） [摘要] 本文讨论了复半单线性李代数的无限维loop代数中的幂零元问题，包括：①给出了中幂零元的刻画，得到了与有限维复半单李代数情况下一致的结果．②对照有限维复半单李代数的Jacobson-Morozov定理，给出了中所有可能的Jacobson-Morozov意义下的标准三元组（即构成同构于的子代数的一组标准基），从而给出中所有具有如Jacobson-Morozov定理中所述的能“嵌入”某一标准三元组这一性质的幂零元的具体形式．由此说明该定理在的情形下不成立；给出了成为标准三元组的必要条件．③类似于有限维复半单李代数在内自同构群作用下幂零轨道的刻画，在中引入等价关系．由此引入幂零元的“轨道”，并给出“轨道”的刻画：每个“轨道”由确定的自然数的分划来决定． [关键词] loop代数、幂零元、标准三元组、轨道、分划 0 基本概念与记号 以下总假定是域上的半单线性李代数（关于李代数的基本概念，请参看[3]）, ．为上的Laurent多项式代数． 令  ，则关于以下换位运算构成上的无限维李代数： ， 称为上的loop代数（参看[4]）．不妨将中的元素看成以Laurent多项式为元素的阶矩阵，例如：中的任意元素均可表示为如下形式： ． 定义1：设则称在中幂零． 定义2：设则称在中幂零． 定义3：设，都不为0，若， 则称为中的标准三元组． 定义4：设，都不为0，若， 则称为中的标准三元组． 1 中幂零元的刻画 关于中的幂零元的刻画，我们有下述结果（参看[1] Proposition 1.1.3）： 设则在中幂零当且仅当． 在中，我们可得到类似的刻画： 定理1：在中幂零当且仅当． 证明：将视为上的李代数，可仿照域上的李代数情形作出的导子在的任一组基下的变换矩阵．设,，则令在此组基下的变换矩阵为．接下来给出证明中要用到的三个引理： 引理1：设 (参看[6]) ． 引理2：设． 证明：由[1]Proposition 1.1.3，再利用引理1，可看出结论． # 引理3：存在无限多个使得幂零（这里指矩阵的幂零性） 的充要条件是：存在使得． 证明：充分性：显然． 必要性：,注意到，利用引理1，则存在无限  多个使得，于是有，，即  ．取即可． # 现在来完成定理1的证明：设由定义有在中幂零当且仅当而根据及的定义，后者又等价于存在．由引理3，这又等价于存在无限多个使得幂零．再由引理2，可得知它的充要条件为：存在无限多个使得，而这相当于，即．综上所述，定理1成立．# 注记：实际上，由上述证明过程不难看出，在中幂零当且仅当，当且仅当． 注意到中元素幂零当且仅当，不难得到 推论1：在中幂零当且仅当． 2 关于中所有可能的标准三元组及Jacobson-Morozov定理在情形的讨论 关于中的幂零元与标准三元组的关系，我们有以下结论： Jacobson-Morozov定理（参看[1]）：对于中的任一幂零元,总存在,使 为一标准三元组． 我们把具有Jacobson-Morozov定理所述性质的幂零元称为能嵌入某一标准三元组的幂零元． 引理4：设为中的标准三元组,则在中幂零． 证明：由的有限维表示理论（参看[2]2.2及[3]定理6.1.6），再利用[1]Propostion1.1.3，可 得结论． # 由引理4，我们立即可以得到成为标准三元组的一个必要条件： 推论2：设为中的标准三元组，则在中幂零． 证明: 设,由引理4及引理1，可知，，于是，．由定理1，． # 很自然的，我们来考虑在的情形下，Jacobson-Morozov定理的情形如何？对于，我们将给一个完整的解答．下面我们将确定中所有可能的标准三元组． 设为中的一标准三元组，可令 满足． 定理2：中标准三元组的所有可能形式为： ①， ．②，．③，  ． 设上面的情形中可能的标准三元组为，则时所有可能的标准三元组为． 当且仅当 时，有如下标准三元组： 证明：由标准三元组的定义可得 由以上九个式子，容易得到 由以上三个式子， ．由,必有