初等数学§93直线和平面的位置的关系.ppt

C 4、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点。试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。 三、直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l ⊥ 。 容易发现： 直线与平面垂直的判定 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 例题1 如图，已知 ,求证： 将书页打开直立在桌面上，观察书脊AB和桌面的位置关系，给人以什么感觉？ A B 书脊AB和每页书与桌面的交线的位置关系如何？ 此时，书脊AB和桌面内的每条直线都垂直吗？ P l 直线 l 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 l 的垂面。 直线和平面垂直时，它们 唯一的公共点P叫做垂足。 思考：如果一条直线 垂直于平面 内的无数条直线，则 吗？ 问题讨论： 1、根据定义判定直线与平面垂直方便吗？为什么？ 2、若直线 与平面 内的一条直线垂直，能保证 吗？ 3、若直线 与平面 内的两条直线垂直，能保证 吗？ 动手探究 准备一块三角形的纸片，做实验 （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面 垂直？ A P l (1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂 直，则这条直线垂直于三角形所在的 平面。( ) (2)、若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直，则这条直线垂直于平行四边 形所在的平面。( ) (3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( ) √ × √ 判断下列命题是否正确？ 想一想 因为直线 ,根据直线与平面垂直的定义知: 证明:在平面 内作两条相交直线 又因为 所以 又 是两条相交直线 所以 证明 A B C D E 例2.在空间四边形ABCD中,AB=AD, CB=CD,求证: AC⊥BD 练习:已知 平面 ， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的任一点，求证： ． 四、直线和平面所成的角 异面直线所成角的范围： 思考： 结论： 1、线线角： 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A O B 2、线面角 当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90° 当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角是0° ? ? 斜线与平面所成的角 （ 0°, 90°） 直线与平面所成的角 〔 0°, 90°〕 异面直线所成的角 （ 0°, 90°〕 ? ? 若斜线段AB的长度是它在平面?内的射影长的2倍，则AB与?所成的角为 。 60° A B O ? 最小角原理 A O B M 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。 A O B M ? 如图,直线OA与平面?所成的角为?1,平面内一条直线OM与OA的射影OB所成的角为?2,设∠AOM为? 求证:cos?= cos ?1 ×cos ?2 若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ，最大的角为 。 90° 60° O l1 例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角 A B C D A1 B1 C1 D1 O S A C B O F E 如图，?ACB=90?，S为平面ABC外一点， ?SCA= ?SCB= 60?，求SC与平面ACB所成的角 例： 的棱长为1. 正方体 x y z 直线与平面所成角的范围： 思考： 结论： 2、线面角： 例1： 的棱长为1. 正方体 x y z 设正方体棱长为1， 例 2 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= 2 ，SA=SB= . (1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 S A B C D O x y z * b §9.3直线和平面的位置关系 一.直线和平面的三种位置关系 3、下图是一个长方体，则B′B所在的直线与D′D所在的直线的位置关系是 ，则A′A所在的直线与C′D′所在的直线所成的角是 度；若∠BA′B′=30o, 则A′B所在的直线与D′D所在