中南民大中期报告(分块矩阵及应用[修改]).doc

中南民族大学 中期报告(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学 年级: 2009 题目: 分块矩阵及其应用 学生姓名: 莫文扬 学号 指导教师姓名: 汪宝彬 职称:讲师 2011年6月1日目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key words 1 1 引言 2 2 分块矩阵的相关概念及其运算 2 2.1分块矩阵的定义 2 2.2两类特殊的分块矩阵 3 2.2.1准对角矩阵(分块对角矩阵) 3 2.2.2准上（下）三角矩阵（分块上（下）三角矩阵） 4 2.3分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵 4 2.4分块矩阵的运算 5 2.4.1加法 5 2.4.2数乘 5 2.4.3转置 5 2.4.4乘法 5 2.4.5共轭 6 3 分块矩阵在矩阵论中的应用 6 3.1在矩阵计算中的应用 6 3.1.1简化矩阵的运算 6 3.1.2 求可逆矩阵的逆矩阵 7 3.2 在矩阵证明中的应用 7 3.2.1 证明矩阵秩的相关定理： 8 3.2.2 证明矩阵特征值的问题 9 4 分块矩阵在行列式理论中的应用 10 4.1 在行列式计算中的应用 10 4.2 在行列式证明中的应用 10 5 分块矩阵在解线性方程组中的应用 11 6 结论 12 致谢 13 参考文献 13 分块矩阵及其应用 摘要：分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，它是解决很多有关矩阵和行列式问题的重要方法和工具本文首先论述了分块矩阵的定义及其相关性质，然后结合实例说明了分块矩阵在矩阵论、行列式理论以及解线性方程组中的具体应用.由此可见分块矩阵在处理和解决相关问题时的简便性和灵活性. 关键词：分块矩阵；行列式；计算；证明 Block Matrix and Its Application Abstract: Block matrix is an important content in advanced algebra, which plays the key role to solve much problem related to matrix and determinant. In this paper, we first give the definition and the properties of block matrix. The specific applications to matrix theory、determinant theory and solving linear equations are also investigated by some examples. According to these, we can understand the simplicity and flexibility of block matrix.朗读 显示对应的拉丁字符的拼音 字典 Block matrix; determinant; computing; proof 1 引言 　“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语处理级数较高的矩阵，分块之后，使各矩阵之间或矩阵内部之间的关系变得更清楚 设A是一个矩阵，用贯穿于A的纵线和横线按某种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵，这些矩阵称为A的子块或子矩阵，以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵. 用数学语言更具体一点地说就是： 设A是数域K上的矩阵，B是K上矩阵，把它们按如下方式分割成小块： 即将A的行分割为r段，每段分别包含…… 个行，又将A的列分割为s段，每段分别包含…… 个列。于是A可用小块矩阵表示如下： 其中为矩阵，对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法相同（列的分割法没有限制）.于是B可表为：，其中是矩阵，这种分割法称为矩阵的分块. 2.2两类特殊的分块矩阵 2.2.1准对角矩阵(分块对角矩阵) 称数域K上的分块形式的n阶方阵为准对角矩阵，其中为阶方阵，且（除的位置外，其他位置处全是小块零矩阵）此时A可写为， n阶准对角矩阵有如下性质： 对两个同类型的n阶准对角矩阵，（其中同为阶方阵），有； A可逆都可逆，且. 推广到行列式：. 注意：对角矩阵可以看成是分块对角矩阵（每个子矩阵都是一阶矩阵）.但是一般地，分块对角矩阵不一定是对角矩阵. 若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角矩阵. 2.2.2准上（下）三角矩阵（分块上（下）三角矩阵） 具有下列形式的分块矩阵称为分块上三角矩阵；类似地， 分块后具有下列形式的分块矩阵称为分块下三角矩阵. 推广到行列式有： . 2.3分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵 分块初等矩阵