勾股定理(精)经典难题复习巩固.doc

DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列 勾股定理 导入 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。 知识点回顾 （一）勾股定理　 １．定理：直角三角形两条直角边 ａ、ｂ 的平方和等于斜边 ｃ 的平方：ａ２＋ｂ２＝ｃ２　 ２．逆定理：如果三角形的三边长 ａ、ｂ、ｃ 有下面关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２　，那么这个三角形是直角三角形．　 ３．勾股数：能构成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．　 （二）直角三角形　 １．定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形．　 ２．性质：（１）直角三角形的两个锐角互余．　 （２）直角三角形中，如果一个锐角等于 ３０°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．　 （３）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ３０°．　 （４）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　 （５）勾股定理．　 ３．判定： （１）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形 （２）一个三角形，若有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．　 （３）如果一个三角形中的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．　 （４）勾股定理的逆定理 专题讲解 【例 １】如图，△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１４，ＡＣ＝１５，求 ＢＣ 边上的高 ＡＤ．　 解设 ＢＤ＝ｘ，则 ＤＣ＝１４－ｘ　 在 Ｒｔ△ＡＢＤ 中，由勾股定理得　ＡＤ２＋ｘ２＝１３２　 ∴ＡＤ２＝１３２－ｘ２　 同理：在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中，ＡＤ２＝１５２－（１４－ｘ）２　 ∴１３２－ｘ２＝１５２－（１４－ｘ）２，解方程得 ｘ＝５　 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD = 132 - 52 = 12． 　 说明　　高 ＡＤ 虽然是两个直角三角形的边，但哪个直角三角形的边都有未知数，要想求这未知数，必须利用两直角三角形的公共边 ＡＤ 列出方程，才能求得结果．这在几何的计算问题中是经常应用的． 1、已知：如图，△ABC中，AB=17，BC=21，AC=10，求△ABC的面积. 2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长；解：（1）由翻折不变性可知，EB=ED，设DE为xcm，则EB=xcm，AB=10cm，AE=AB-x=10-x，又AD=4cm，在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，即42+（10-x）2=x2，化简得：16+100+x2-20x=x2，解得：x=5.8，即DE=5.8； 证明　　∵∠Ｂ＝４５°，∠ＣＥＢ＝９０°　 ∴ＣＥ＝ＢＥ　 ∵Ｄ 是 ＡＢ 的中点∴ＢＤ＝ＡＤ．　 ∴在 Ｒｔ△ＡＣＥ 中，由勾股定理得：　 ＡＣ２＝ＣＥ２＋ＥＡ２＝ＢＥ２＋ＥＡ２　 ＝（ＢＤ＋ＤＥ）２＋（ＡＤ－ＤＥ）２　 ＝（ＡＤ＋ＤＥ）２＋（ＡＤ－ＤＥ）２　 ＝ＡＤ２＋２ＡＤ?ＤＥ＋ＤＥ２＋ＡＤ２－２ＡＤ?ＤＥ＋ＤＥ２　 ＝２（ＡＤ２＋ＤＥ２）　 说明　　要证明线段平方问题，首先要考虑勾股定理，就是从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形．另外，从本例可以看出等量代换或代数中的恒等变换对证此类问题是很重要的 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 是 ＢＣ 上一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ?ＤＣ 提