概率论CH2-4.doc

第四讲 Ⅰ 授课题目： 第五节 随机变量函数的分布 第二章习题课 Ⅱ 教学目的与要求： 掌握随机变量函数的分布 重点习题评讲 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：随机变量函数的分布 难点：随机变量函数的分布 Ⅳ 讲授内容： 随机变量函数的分布 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布,求截面面积A= 的分布. 又如，已知t= 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W= (R为电阻）的分布等. 一般地，设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 一、 离散型随机变量函数的分布 例1 设X为 X 1 2 5 P 0.2 0.5 0.3 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解：当 X取值 1，2，5 时，Y取对应值 5，7，13，而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 所以 Y 5 7 13 P 0.2 0.5 0.3 一般，若X是离散型 r.v X的概率函数为 X ～ X … P … 则 Y=g(X) ～ Y … P … 如果g()中有一些是相同的，把它们作适当并项即可. 如： X ～ X -1 0 1 P 0.3 0.5 0.2 则 Y= 的概率函数为Y ～ Y 0 1 P 0.5 0.5 二、连续型随机变量函数的分布 例2 设 X ～ =, 求 Y=2X+8 的概率密度. 解 设Y的分布函数为 F～， = === 于是Y 的密度函数 == 注意到 时, 即时, . 所以 = 例3 设 X具有概率密度 ,求的概率密度 解： 设Y和X的分布函数分别为和 注意到 ,所以当时, =0 当,有 == = =- 求导可得 == 若=,,则的概率密度为 = 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 . 例如，用 代替 ;用 代替 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 设随机变量X的概率密度为 = 求Y=sinX的概率密度. 解 注意到 时, 所以 时, =0 时, =1 当时, == =+ =+ = 而=,求导得 = 例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于0y1 于是 对y1, G(y)=1; 对y0 , G(y)=0; 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增. 对0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤) =F()= y 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 = 可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x,恒有或恒有 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为 = 其中是的反函数， , 此定理的证明与前面的解题思路类似. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数lnx0, 故y=-2lnx0, 于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数 由前述定理得 = 将X的概率密度= 代入,得 = 即Y服从参数为的指数分布. Ⅴ 小结与提问： 小结：本次课我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y } Ⅵ 课外作业： 1 桂林电子科技大学力备课纸 概率论 第2章 第4讲