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第二章 行列式 习题课 一　全排列 二　逆序数 三 计算排列逆序数的方法 四 对换 五 n阶行列式的定义 六 n阶行列式的性质 七 行列式按行（列）展开 八　克拉默法则 　　评注　本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用． 用递推法计算 例如　计算 解 由此递推，得 如此继续下去，可得 * * 　　把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）． 　　　个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且　　　． 　　逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列． 　　在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序． 　　一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． 　　分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数． 方法2 方法1 　　分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这　 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数． 定义 　　　在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 定理 　　　一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数． １）余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质 克拉默法则的理论价值 定理 定理 　用定义计算（证明） 例如　用行列式定义计算 解 　　评注　本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法． 注意 　利用范德蒙行列式计算 例如　计算 解 　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 　　评注　本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式． 用化三角形行列式计算 例如　计算 解 提取第一列的公因子，得 　　评注　本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的． 　用降阶法计算 例如　计算 解