第3讲函数的单调性(教案).doc

函数的单调性 教学目标：掌握函数单调性（高考要求 B） 教学重难点：掌握函数单调性的定义及证明方法，并会用函数单调性解决有关综合性问题。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,x∈D, 当xx时，都有f(x) f(x)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间. 当xx时，都有f(x) f(x)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间. 2、函数单调性的判断方法： （1）定义法。步骤是：①任取x，x∈D，且xx　 ②作差f(x)－ f(x)或作商，并变形， ③判定f(x)－ f(x)的符号，或比较与1的大小，　 ④根据定义作出结论。 （2）图象法；借助图象直观判断。 （3）复合函数单调性判断方法：设 若内外两函数的单调性相同，则在x的区间D内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则在x的区间D内单调递减。 3、常见结论 增函数增函数是增函数 ； 减函数减函数是 减函数 ； 增函数减函数是增函数 ； 减函数增函数是减函数 。 若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)0且为增函数，则函数在其定义域内为减函数 ；二、基础练习： 1. 写出下列函数的单调区间 （1） （2）， （3）. 2．已知在R上是增函数,则k的取值范围. （-1，4） 3．函数在上是减函数,则求m的取值范围. m≤-7 4. 已知函数上是单调函数. 的取值范围是 a≤-5 或 a≥5 5.函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,求f（a2－a＋1）与f（）的大小关系是 ≤ 三、例题精讲： 题型1：单调性的判断： 例1．（1）求函数的单调区间。(图像法) (-∞，-1],[0,1] 递增 ， [-1,0],[1, +∞)递减。 （2）判断函数f（x）＝的增减情况。（复合函数法） （-∞，0），（0，2）递增 , （2，4）,(4,+ ∞) 递减. 题型2：单调性的证明： 例2.已知函数f(x)=ax+ (a＞1).证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.（定义法） 变式：.已知函数f（x）在定义域M内为减函数，且f（x）＞0，则g（x）＝1＋在M内为增函数。 题型3：单调性的应用： 例3.已知函数f（x）＝在区间（－2，+∞）上单调递增，求a的取值范围。a1/2 变式：讨论函数的单调性；（定义法） 例4.（2008·青岛调研）已知f(x)=(x≠a). （1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增； （2）若a＞0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取值范围. （1）证明 任设x1＜x2＜-2,则f(x1)-f(x2)= ∵(x1+2）(x2+2)＞0,x1-x2＜0,∴f(x1)＜f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. （2）解 任设1＜x1＜x2,则f(x1)-f(x2)= ∵a＞0,x2-x1＞0,∴要使f(x1)-f(x2)＞0,只需(x1-a)(x2-a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述知0＜a≤1. 4：抽象函数的单调性： 例5.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解 根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又f(x)+f(x-8)=f［x(x-8)］,故f［x(x-8)］≤f(9). ∵f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴解得8＜x≤9. 变式：已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是 (- 例6.已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-. (1)判断并证明f(x)在R上的单调性； （2）求f(x)在［-3，3］上的最值. 解 （1）f(x)在R上是单调递减函数证明如下： 令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x1＜x2,则x2-x1＞0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x＞0时，f(x)＜0, ∴f(x2-x1)＜0,即f(x2)＜f(x1).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数. （2）∵f(x)在R上是减函数，∴f（x）在［-3，3］上也是减函数. ∴f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-=-2. ∴f(-3)=-f(3)=2